25、矩阵分解方法：LU、Cholesky、QR 与 SVD 详解

矩阵分解方法：LU、Cholesky、QR 与 SVD 详解

1. 引言

在矩阵计算中，矩阵分解是一种重要的技术，它可以将一个矩阵分解为多个较小矩阵的乘积，从而简化计算过程。本文将详细介绍几种常见的矩阵分解方法，包括 LU 分解、Cholesky 分解、QR 分解和奇异值分解（SVD），并通过 MATLAB 代码示例展示它们的应用。

2. LU 分解

2.1 LU 分解原理

LU 分解是将一个矩阵 $A$ 分解为一个下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $U$ 的乘积，即 $A = L \cdot U$。

对于一个 $3\times3$ 的下三角矩阵方程：
[
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 & 0 \
L_{21} & L_{22} & 0 \
L_{31} & L_{32} & L_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \
b_2 \
b_3
\end{bmatrix}
]
其解为：
[
x_1 = \frac{b_1}{L_{11}}
]
[
x_2 = \frac{b_2 - L_{21}x_1}{L_{22}}
]
[
x_3 = \frac{b_3 -