24、数学中的特殊函数与正交概念

数学中的特殊函数与正交概念

1. 伽马分布与函数

1.1 伽马函数基础

伽马函数（Gamma function），用 $\Gamma(n)$ 表示，也被称为广义阶乘函数，其定义为：
$\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty}x^{n - 1}e^{-x}dx$

对于不同的 $n$ 值，有以下方便的关系：
- 当 $n > 0$ 时，$n\Gamma(n)=\Gamma(n + 1)$；
- 当 $n < 0$ 时，$\Gamma(n)=\frac{\Gamma(n + 1)}{n}$。

伽马函数对于所有正整数、正分数值以及所有负分数值都有定义，但不包括负整数值。它与阶乘的关系为：$\Gamma(n + 1)=n!$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）。

我们可以使用 MATLAB 的 gamma(n) 函数来获取 $\Gamma(n)$ 的值，也可以使用 EXP(GAMMALN(n)) 函数在某些正的 $n$ 值下计算 $\Gamma(n)$。当 $n$ 为正整数时，还可以使用 $\Gamma(n)=(n - 1)!$ 来计算。

1.2 伽马分布

伽马分布是一种常见的概率分布，定义为：
$f(x; n, \beta)=\frac{x^{n - 1}e^{-\frac{x}{\beta}}}{\beta^{n}\Gamma(n)}$，其中 $x > 0$，$n > 0$，$\beta > 0$。

当 $n$ 为正整数时，伽马