35、距离与网络方法：数据空间中的度量与分类

距离与网络方法：数据空间中的度量与分类

1. 数据空间与网络的关联

在数据科学领域，一个由 n 个示例（行）和 d 个特征（列）组成的 n × d 数据矩阵，可自然地定义为 d 维几何空间中的一组 n 个点。把示例解读为空间中的点，为我们提供了一种强大的思考方式，就像将天空中的星星看作点一样。我们可以思考哪些星星离太阳最近，即寻找最近邻；还能通过对数据进行聚类，找出像银河系这样自然的星群。

空间中的点集与网络中的顶点有着紧密的联系。我们常常从几何点集构建网络，通过边连接距离相近的点对；反之，也能将网络中的顶点嵌入到空间中，使得相连的顶点在嵌入空间中彼此靠近。几何数据中的一些重要问题，如最近邻分类和聚类，很容易推广到网络数据中。

2. 距离的度量

2.1 距离度量的基本概念

在 d 维空间中，点 p 和 q 之间距离的度量是一个基本问题。虽然传统的欧几里得度量是常见的距离测量方式，其定义为：
[d(p, q) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{d} |p_i - q_i|^2}]
但还有其他合理的距离概念值得考虑。那么，什么是距离度量呢？它与任意的评分函数有何不同？

距离度量与相似度得分（如相关系数）在增长方向上有明显区别。距离度量随着对象变得更相似而减小，而相似度函数则相反。一个合理的距离度量应满足以下数学性质：
- 正性 ：对于所有的 x 和 y，(d(x, y) \geq 0)。
- 同一性 ：当且仅当 (x = y) 时，(d(x, y) = 0)。
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