49、随机通信复杂度与动态代数化的空间节省

随机通信复杂度与动态代数化的空间节省

1. 随机通信复杂度相关证明

在随机通信复杂度的研究中，需要证明一个引理。采用概率方法来证明，即要表明随机选取的图以正概率具有所需的性质。图的概率分布定义为：每一对（左节点，右节点）成为图的一条边的概率为 (2^{i - 2n})，并且不同对的决策是相互独立的。

需要证明两个要求都以超过二分之一的概率成立，这里会用到指数形式的切尔诺夫界：对于任何取值为 0 或 1 的独立随机变量 (T_1, \ldots, T_k)，它们的和 (T) 超过 (T) 的期望 (ET) 的两倍的概率小于 (2^{-ET/4})，(T) 小于 (ET/2) 的概率小于 (2^{-ET/6})。

• 第一个要求 ：图中的边数在 (2^{i - 1}) 和 (2^{i + 1}) 之间。边的期望数量是 (2^i)。根据切尔诺夫界，当 (i \geq 4) 时，不满足该要求的概率至多为 (2^{-2^i/4} + 2^{-2^i/6} < 1/2)。
• 第二个要求 ：对于所有基数至少为 (2^{2n - i + \log n + 4}) 的 (A) 和 (B)，(A \times B) 中的边数不超过其期望的两倍。固定 (a) 和 (b) 大于 (2^{2n - i + \log n + 4} \geq 32)，(A) 和 (B) 的大小分别为 (a) 和 (b)，连接 (A) 和 (B) 的边的期望数量是 (ab2^{i - 2n})。(A) 和 (B) 之间的边数超过其平均值两倍的概率至多为 (2^{-ab2^{i - 2n - 2}})。通过联合界，存