8、数组子范围最小值和最大值计算方法解析

数组子范围最小值和最大值计算方法解析

1. 问题提出

在处理数组时，我们常常会遇到这样的问题：给定一个包含 N 个数字的数组 A，如何高效地查询该数组任意子范围内的最小或最大数字呢？例如，要查询数组中第 8 个到第 23 个元素的最小值。

在射线追踪，尤其是体积数据集渲染时，这个问题会偶尔出现。体积数据集渲染通常会定义一个标量场 z = f(x)，并通过某种射线步进方式进行渲染。为了实现快速渲染，关键在于快速确定体积中哪些区域为空或不太重要，然后通过跳过这些区域、减少采样次数或使用其他近似方法来加速计算。这通常需要构建一个空间数据结构，为每个叶子节点存储底层标量场的最小值和最大值。

在实际应用中，由于用户通常会交互式修改某种传递函数 t(z)，该函数指定了不同标量场值对应的颜色和不透明度值，所以我们需要的是将传递函数应用于标量场后的输出的极值，而非标量场本身的极值。假设我们将传递函数表示为数组 A[i]，标量场的最小值和最大值分别映射到数组索引 ilo 和 ihi，那么我们要查询的就是 i ∈ [ilo, ihi] 时 A[i] 的最小值和最大值。

这个问题乍一看与使用求和面积表（SATs）计算子数组的和类似，但由于 min() 和 max() 函数不可逆，SATs 方法在这里并不适用。接下来，我们将介绍四种不同的解决方案，每种方案在预计算所需的内存和查询时间方面都有不同的权衡。

2. 朴素全表查找法

朴素全表查找法会预先计算一个 N × N 大小的表 Mj,k = min {Ai, i ∈ [j, k]}，然后直接查找所需的值。

这种方法简单快速，是一种不错的“快速”解决方案，例如在 OSPRa