35、约束满足问题中的计数量词算法与复杂度分析

约束满足问题中的计数量词算法与复杂度分析

在约束满足问题（CSP）的研究中，计数量词的引入为问题的求解和复杂度分析带来了新的挑战和机遇。本文将深入探讨几种特定类型的 CSP 问题，包括 {2}-CSP(K4)、{n}-CSP(K2n)（n ≥ 3）、{1, 2}-CSP(P∞) 以及 {1, 2}-CSP(Pn)，分析它们的算法和复杂度。

1. {2}-CSP(K4) 算法

{2}-CSP(K4) 问题可以在多项式时间内判定。模板 K4 是一个具有顶点 {1, 2, 3, 4} 且任意不同顶点间都有边的完全图。对于 {2}-CSP(K4) 的实例 Ψ，我们将其看作图 G = Dψ 并结合顶点的线性排序 ≺。

为了解决这个问题，我们需要迭代构造三个集合：R+、R− 和 F。集合 F 是图 G 中顶点的无序对集合，R+ 和 R− 是顶点的无序三元组集合。这些集合的含义如下：
- 若 xy ∈ F 且 x ≺ y，意味着证明者（Prover）为了获胜，必须提供值使得对手（Adversary）为 x 选择的值 f(x) 不同于为 y 选择的值 f(y)。
- 若 xyz ∈ R+ 且 x ≺ y ≺ z，当对手选择 f(x) ≠ f(y) 时，证明者必须为 z 提供 f(x) 或 f(y)（或两者）。
- 若 xyz ∈ R− 且 x ≺ y ≺ z，当对手选择 f(x) ≠ f(y) 时，证明者必须为 z 提供不同于 f(x) 和 f(y) 的值。

以下是迭代计算这三个集合的步骤：
1. 初始化：F = E(G)，R+ = R− = ∅。
2. 重复应用以下规则，直到无法继续：
- (X1) 若存在 x,