14、基于子N-图的N-图序列化：理论与应用

基于子N-图的N-图序列化：理论与应用

在逻辑推理和证明理论中，N-图是一种强大的工具，用于表示和分析证明结构。本文将深入探讨N-图的相关理论，包括帝国（empire）的概念、嵌套引理以及序列化方法，同时介绍N-图处理循环的策略。

1. 帝国的基本概念与性质

在N-图中，帝国是一个重要的概念，它分为北帝国（$e_{A}^{\wedge}$）和南帝国（$e_{A}^{\vee}$）。北帝国和南帝国分别是包含公式A作为下门和上门的最大子N-图。

• 帝国的封闭性 ：在某些条件下，如2b、2c、2d、2g、2h和2i，相关集合是封闭的。对于条件2f和2j，通过反证法可以证明其封闭性。假设1不满足2f，会推出存在收缩链接使得结论在集合中，而前提不在，这会导致在特定切换下形成循环，产生矛盾，从而证明1在2f下是封闭的，同理可证在2j下也封闭。
• 帝国的包含关系 ：通过构造主切换$S_{p}^{\wedge}$，可以证明$S_{p}^{\wedge}(N, A) \subseteq 2$，进而得出$\bigcup_{S} S^{\wedge}(N, A) \subseteq e_{A}^{\wedge}$。同时有推论$S_{p}^{\wedge} = e_{A}^{\wedge}$和$S_{p}^{\vee} = e_{A}^{\vee}$，以及当A为前提、B为结论时，$e_{A}^{\vee} = e_{B}^{\wedge} = N$。

下面通过一个例子来说明帝国的概念，如图所示的N-图：
| 颜色 | 代表的公式集合 |
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