11、低阶三角多项式测试详解

低阶三角多项式测试详解

在数学领域，低阶三角多项式的测试是一个重要的研究方向。本文将详细介绍低阶三角多项式测试的相关内容，包括测试的定义、主要定理及其证明。

1. 基本概念与低阶测试定义

首先，对于任意点 $x \in F^k$ 和方向 $v \in H$，可以定义一条直线 $\ell_{v,x} = {x + tv : t \in F}$。实际上，对于直线 $\ell_{v,x}$ 上的所有点 $y$，都有 $\ell_{v,y} = \ell_{v,x}$，这意味着同一条直线有 $|F|$ 种可能的参数化方式，我们只编码其中一种，即任意固定一个原点。为了讨论这些直线上的点，我们定义对于所有 $y \in \ell_{v,x}$，存在值 $\tau_y \in F$ 使得 $x + \tau_yv = y$，这就是 $y$ 在 $\ell_{v,x}$ 上的横坐标。

低阶测试的输入包括一个函数 $f : F^k \to R$（由其值的表格给出），以及一个为 $F^k$ 中每个方向在 $H$ 中的直线定义的单变量三角多项式列表（由其系数指定）。低阶测试的具体步骤如下：
1. 从 $H$ 中均匀随机选择一个方向 $v$，并从 $F^k$ 中随机选择一个点 $x$。
2. 确定性地计算证明中指定在通过 $x$ 且方向为 $v$ 的直线上定义的单变量多项式 $p_{v,x}(t)$ 的唯一线段。
3. 如果 $f(x) = p_{v,x}(\tau_x)$，则接受；否则，拒绝。

由于 $F$ 是离散的，步骤 1 中选择的对象可以使用 $O(k \cdot \log |F|)$ 个随机位来表示。需要注意的是，第一步等同于选择一个随机方向 $v \