18、3C联合优化：ADMM算法在MEC系统中的应用与性能分析

3C联合优化：ADMM算法在MEC系统中的应用与性能分析

1. 算法停止准则与收敛性

在求解相关优化问题时，问题（6.21）的所有变量和目标函数都是有界的，即不等式 $\sum_{n\in N} v_n(\hat{a}_n^ , \tilde{s}_n^ , \hat{c}_n^ , \hat{h}_n^ ) < \infty$ 成立，其中 ${\hat{a}_n^ , \tilde{s}_n^ , \hat{c}_n^ , \hat{h}_n^ }$ 是问题（6.21）的最优解。由于问题（6.21）是凸优化问题，强对偶性成立。根据相关理论，问题（6.21）的目标函数是凸的、封闭的和恰当的，拉格朗日函数（6.22）有鞍点，所以上述ADMM迭代在 $t \to \infty$ 时满足残差收敛、目标收敛和对偶变量收敛。

为了实现算法，我们采用如下停止准则：
$|r_{p}^{[t + 1]}| 2 \leq \vartheta {pri}$ 且 $|r_{d}^{[t + 1]}| 2 \leq \vartheta {dual}$
其中 $\vartheta_{pri} > 0$ 和 $\vartheta_{dual} > 0$ 是小的正常数标量，分别称为原始可行性条件和对偶可行性条件的可行性容差。这意味着原始残差 $r_{p}^{[t + 1]}$ 和对偶残差 $r_{d}^{[t + 1]}$ 必须足够小。具体到小小区 $n$ 在迭代 $[t + 1]$ 时，原始可行性条件的残差需满足：
$|\hat{a} n^