BZOJ3754 Tree（最小方差生成树）_最小方差生成树 bzoj-优快云博客

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博客主要讨论了BZOJ3754题目的解决方案，重点在于如何找到最小方差生成树。作者首先分享了自己在考试中尝试的错误解法，即按边权值排序并尝试集中边权，但此方法存在反例。接着，作者提出了正确的思路，通过枚举平均数来优化，特别是在边权为整数的情况下，以0.25为界简化求解公式，并据此计算结果。

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【题目分析】

先说说自己在考场上YY出来的错误解法，但可以过后面几个数据密度大的点。

将所有边按权值存入各自的vector中，然后一个一个的枚举，因为要标准差最小所以边权要尽可能的集中所以记录两个指针，优先跳差值小的一边。

因为到最后边数上万，但边权小于等于100，所以可能一个集合就差不多能将整个图覆盖，所以靠着这个方法过了最后6个点。

然而这个很容易找反例，所以咕了。

观察标准差求解公式： $\sqrt\frac{\sum_{i=1}^{n}(a_i-\bar{a})}{n}$ ，因为边权是整数，所以可以考虑直接枚举平均数，以0.25为界即可。

可以将上面的公式化简一下得到 $\frac{\sqrt{n*\sum_{i=1}^{n}(a_i)^2-(\sum_{i=1}^na_i)^2)}}{n}$ ，根据这个式子计算最后的结果。

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e2+10;
const int MAXM=2e3+10;

int n,m;
int fa[MAXN];
int ans=0x3f3f3f3f;
int sum1,sum2;
struct Edge{
	int u,v,w;
	double fc;
	friend inline bool operator<(const Edge &a,const Edge &b){
		return a.fc<b.fc;
	}
}edge[MAXM];

int Read(){
	int i=0,f=1;
	char c;
	for(c=getchar();(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());
	if(c=='-')
	  f=-1,c=getchar();
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
	  i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
	return i*f;
}

int find(int x){
	if(x==fa[x])
	  return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}

int main(){
	n=Read(),m=Read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	  edge[i].u=Read(),edge[i].v=Read(),edge[i].w=Read();
	for(double aver=0.0;aver<=100.0;aver+=0.25){
		sum1=sum2=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		  fa[i]=i;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		  edge[i].fc=(edge[i].w-aver)*(edge[i].w-aver);
		sort(edge+1,edge+m+1);
		for(int i=1;i<=m;++i){
			int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
			int fu=find(u),fv=find(v);
			if(fu!=fv){
				sum1+=edge[i].w,sum2+=edge[i].w*edge[i].w;
				fa[fv]=fu;
			}
		}
		ans=min(ans,(n-1)*sum2-sum1*sum1);
	}
	printf("%.4lf",sqrt(ans)/(n-1));
	return 0;
}