渐进标记

引言

在拜读《算法导论》的时候，发现若要将所有课后题做完的话会花掉太多时间，所以以后不更新作业的博客了，而是写关于算法导论上某一部分内容总结性的记录。这篇博客先大概的说一下渐进标记，有什么补充的想起了在补充吧。

渐进标记

渐进非负函数： 若$f(n)$为一个渐进非负函数，则有，当$n\ge 0$时，总有$f(n)\ge 0$，也就是函数值在自变量取值为$[0,+\infty )$时总大于0，在渐进标记的介绍中，所有函数均为渐进非负函数。
定义：

标记符号	使用形式	定义
$\Theta$	$f(n)=\Theta (g(n))$	Θ ( g ( n ) ) = { f ( n ) : ∃ n ≥ n 0 , c 1 , c 2 ， 使 得 不 等 式 c 1 g ( n ) ≤ f ( n ) ≤ c 2 g ( n ) 成 立 } \Theta(g(n))=\{f(n):\exist n \geq n_0,c_1,c_2，使得不等式c_1g(n)\leq f(n) \leq c_2g(n)成立\} Θ(g(n))={f(n):∃n≥n0​,c1​,c2​，使得不等式c1​g(n)≤f(n)≤c2​g(n)成立}
$O$	$f(n)=O(g(n))$	O ( g ( n ) ) = { f ( n ) : ∃ n ≥ n 0 , c ， 使 得 不 等 式 0 ≤ f ( n ) ≤ c g ( n ) 成 立 } O(g(n))=\{f(n):\exist n \geq n_0, c，使得不等式0\leq f(n) \leq cg(n)成立\} O(g(n))={f(n):∃n≥n0​,c，使得不等式0≤f(n)≤cg(n)成立}
$o$	$f(n)=o(g(n))$	o ( g ( n ) ) = { f ( n ) : ∃ n ≥ n 0 , ∀ c > 0 ， 使 得 不 等 式 0 ≤ f ( n ) < c g ( n ) 成 立 } o(g(n))=\{f(n):\exist n \geq n_0,\forall c>0，使得不等式0\leq f(n) < cg(n)成立\} o(g(n))={f(n):∃n≥n0​,∀c>0，使得不等式0≤f(n)<cg(n)成立}
$\Omega$	$f(n)=\Omega (g(n))$	Ω ( g ( n ) ) = { f ( n ) : ∃ n ≥ n 0 , c ， 使 得 不 等 式 0 ≤ c g ( n ) ≤ f ( n ) 成 立 } \Omega(g(n))=\{f(n):\exist n \geq n_0,c，使得不等式0\leq cg(n) \leq f(n)成立\} Ω(g(n))={f(n):∃n≥n0​,c，使得不等式0≤cg(n)≤f(n)成立}
$\omega$	$f(n)=\omega (g(n))$	ω ( g ( n ) ) = { f ( n ) : ∃ n ≥ n 0 , ∀ c > 0 ， 使 得 不 等 式 0 ≤ c g ( n ) < f ( n ) 成 立 } \omega(g(n))=\{f(n):\exist n \geq n_0,\forall c>0，使得不等式0\leq cg(n) < f(n)成立\} ω(g(n))={f(n):∃n≥n0​,∀c>0，使得不等式0≤cg(n)<f(n)成立}$

注意事项：
对于标记$\Theta ,O,\Omega$，他们的定义中的常量$c$是存在就行，标记$o,\omega$中的常量$c$是任意大于零的值。
极限：
书上给出了渐进标记$o,\omega$可以等价于极限。
$f(n)=o(g(n))$等价于极限:$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(0)}=0$
$f(n)=\omega (g(n))$等价于极限:$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(0)}=\infty$
但是，个人认为渐进标记$\Theta$可以等价于极限$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=c$，其中c为常数。书上未给出这个定义。
证明过程：
充分性：若$f(n)=\Theta (g(n))$，则有$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=c$成立。
必要性证明：
若$f(n)=\Theta (g(n))$，根据定义有：$f(n):\exists n\ge n_0,c_1,c_2，使得不等式c_{1}g(n)\le f(n)\le c_{2}g(n)成立$
则有：
$$\begin{gathered} c_1\le \frac{f(n)}{g(n)}\le c_2 \\ {c}_1\le li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}\le c_2 \end{gathered}$$
因此必定存在一个常数c，使得$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=c$成立。（这里的必要性证明有点牵强。。。）
充分性：若$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=c$成立，则有$f(n)=\Theta (g(n))$。
充分性证明：
由$li{m}_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=c$可得：
$\frac{f(n)}{g(n)}=c+\alpha$，其中$\alpha$为无穷小量。
$f(n)=cg(n)+\alpha$，因为$g(n)$线性非负，必然存在$0<\epsilon \le 1$，以及$\eta \ge 1$
使得不等式：$\epsilon cg(n)+\alpha \le f(n)\le \eta cg(n)+\alpha$成立。
得证。