渐进符号详解-优快云博客

本文深入解析了算法分析中的渐进符号，包括Θ、O、Ω、o和ω的定义及应用，通过具体示例说明了如何使用这些符号来评估算法的时间复杂度。

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渐进符号

1、渐进紧确界记号：Θ

Θ的数学含义：
对一个给定的函数g(n)，用Θ(g(n))来表示以下函数的集合
Θ(g(n))={ f(n)：存在正常量c1、c2和n0，使得对所有n ≥ $n_{0}$ ，有0≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n) }
Θ(g(n))要求每个成员 f(n)∈Θ(g(n)) 均渐进非负，即当n足够大时 f(n) 非负，渐进正函数就是对所有足够大的n均为正的函数。

EX：T(n)= $100n^{4}+20n^{3}+15n^{2}+6n+1$
当n足够大的时候，算法的运行时间取决于时间表达式T(n)的最高项，最高项的系数在n较大时，对时间作用较小，其余项可忽略不计.
故T(n) $≈n4\approx n^{4}$ $T(n)= Θ(n^{4})$

2、渐进上界记号：O

Θ记号渐进地给出一个函数的上界和下界，当只有一个渐进上界时，使用O记号。

数学定义：对于给定的函数g(n)，用O(g(n))来表示以下函数的集合
$O(g(n)) = \{f(n)$ ：存在正常数量n和 $c_{0}$ ，使得对所有 $n⩾n0,0⩽f(n)⩽cg(n)}n\geqslant n_{0},0\leqslant f(n) \leqslant cg(n) \}$

使用O记号，我们常常可以仅仅通过检查算法的总体结构来描述算法的运行时间，以插入排序为例，双重嵌套循环结构最坏情况运行为O $n^{2})$ ，也就是说上界为
O $n^{2})$ 。
以下举几种常见的复杂度

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^{2})<O(n^{3})<O(2^{n})<O(n!)$

$O (1)$ : 基本执行操作次数是常量
$O (n)$ : 一般出现在只有一个循环的情况下
$O(n^{2})$ :一般出现在嵌套循环中

public void test(int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			......
		}
	}
}

$O (l o g n)$ :（二分查找等，例如以下模块）

public void test(int n)
{
	for(int i=1;i<n;i+=2) 
	{
		.......
	}
}

$O (n l o g n)$ : 常出现在归并排序中

3、渐进下界符号：Ω

与O定义类似，Ω记号提供了渐进下界。

定理：对于任意两个函数 $f (n) 和 g (n)$ ,我们有 $f (n) = Θ (g (n))$ ，当且仅当 $f(n)=\omega$

4、非渐进紧确上界：o

由O记号提供的上界可能是也可能不是紧确的，非紧确的可用o记号。

定义： $o(g(n))={f(n):对任意正常量c>0,存在常量n0>0,使得对所有的n⩾n0,有0⩽f(n)⩽cg(n)}o(g(n))=\{ f(n):对任意正常量c>0,存在常量n_{0}>0,使得对所有的n\geqslant n_{0},有0 \leqslant f(n) \leqslant cg(n)\}$