堆排序的时间复杂度

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该博客聚焦堆排序算法的时间复杂度分析。先介绍堆的概念及基本操作，包括获取父子节点和维护堆性质，给出相关操作运行时间。接着分析建堆过程，得出建堆时间为O(n)。最后阐述堆排序算法，算出其时间复杂度为O(nlgn)。

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堆排序的时间复杂度

1 引言
2 堆排序

1 引言

网上对堆排序都已经讲得很清楚，唯一不清楚的部分是运行时间即时间复杂度的分析，因此本篇博客通过《算法导论》里面堆排序的内容，详细讲解堆排序的时间复杂度。

2 堆排序

堆是一个完全二叉树，任意一节点的值大于子节点的值称为大根堆，任意一节点的值小于子节点的值称为小根堆。一般来说，堆可以用一个一维数组 $A [n]$ 表示。

2.1 基本操作

2.1.1 获取父、子节点

由于堆由数组表示，因此可以根据下标计算父子节点，其运行时间为 $\Theta(1)$
PARENT(i)

return i/2

LEFT(i)

return 2i

RIGHT(i)

return 2i+1

2.1.2 维护堆的性质

操作MAX-HEAPIFY(A,i)是维护大根堆的性质，其作用是，在元素 $i$ 的子树都是大根堆的情况下，使以 $i$ 为根节点的子树遵循大根堆的性质；此操作的伪代码如下：
MAX-HEAPIFY(A,i)

i = LEFT(i)
r = RIGHT(i)
if l <= A.heap-size and A[l] > A[i]
	largest = l
else 
	largest = i
if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]
	largest  = r
if largest != i
	exchange A[i] with A[largest]
	MAX-HEAPIFY(A,largest)

伪代码前两个if是找到元素i以及其子节点三者中最大值的节点的下标，第三个if是将i与子节点中最大值交换，并且递归调用MAX-HEAPIFY。
操作MAX-HEAPIFY(A,i)中除了递归调用MAX-HEAPIFY(A,i)的操作之外，其余的操作的运行时间均为 $\Theta(1)$ ；那么MAX-HEAPIFY对于子树的时间代价最多为多少呢，可以用如下递归式表示：
$\leq T(2n/3) + \Theta(1)$
其中 $\Theta(1)$ 代表着其余非递归的操作， $T (2 n / 3)$ 代表子树递归调用的最大值，因为每个孩子节点的子树最多为 $\frac{2}{3}n$ （当最底层恰好半满的时候）。

如上图，就是一个半满的完全二叉树，假设节点的右子树节点个数为 $2^k - 1$ ，那么左子树节点个数为 $2^{k+1} - 1$ ，总节点个数为 $2^k + 2^{k+1} -1$ ，左子树占总数的比例为： $\frac{2^{k+1} - 1}{2^k + 2^{k+1} -1}$ ，当 $k\rightarrow \infty$ 时，这个比例为 $\frac23$ 。因此可以用表达式 $\leq T(2n/3) + \Theta(1)$ 来刻画MAX-HEAPIFY操作的运行时间；根据主定理（主定理参考之前的分治策略）求解得到运行时间为 $T (n) = O (l g n)$ ，即高为 $h$ 的堆的运行时间为 $O (h)$ 。

2.2 建堆

建堆是从堆从小到大的非叶子节点开始，堆中 $\lfloor \frac n2\rfloor$ 以上的都是叶子节点。因此建堆过程BUILD-MAX-HEAP的伪代码如下：
BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length
for i = A.length/2 downto 1
	MAX-HEAPIFY(A,i)

由上述伪代码中，每次调用MAX-HEAPIFY的时间为 $O (l g n)$ ，总共调用 $O (n)$ 次，因此可以估算建堆的运行时间为 $O (n l g n)$ ，但是很明显，这个上界不够精确。
MAX-HEAPIFY的时间与树的高度有关，而大多数节点高度都不高。利用如下性质可以得到更精确的运行时间：高度为 $h$ 的堆最多包含 $\lceil \frac{n}{2^{h+1}} \rceil$ 个节点；
在一个高度为 $h$ 的节点上运行MAX-HEAPIFY的代价是 $O (h)$ ，因此建堆（BUILD-MAX-HEAP)的总代价为：
$\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\lceil \frac{n}{2^{h+1}} \rceil O(h)=O(n\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\frac{h}{2^h})$
其中有： $\sum_{h=0}^{\infty}\frac{h}{2^h}=2$ （根据公式： $\sum_{k=0}^{\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}$ ）；
因此有：
$O(n\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\frac{h}{2^h})=O(n\sum_{h=0}^{\infty}\frac{h}{2^h})=O(n)$
所以，建堆所花时间为 $O (n)$

2.3 堆排序算法

堆排序算法先建立堆，然后通过堆与末尾元素互换，调整堆，重复这个过程，最终完成排序，其伪代码如下：
HEAPSORT(A)

BUILD-MAX-HEAP(A)
for i = A.length downto 2
	exchange A[1] with A[i]
	A.heap-size = A.heap-size - 1
	MAX-HEAPIFY(A, 1)

其中，BUILD-MAX-HEAP运行时间为 $O (n)$ ，执行了 $n - 1$ 次MAX-HEAPIFY，每次时间为 $O (l g n)$ ，因此，堆排序的时间复杂度为 $O (n l g n)$ 。