算法导论作业3.1

3.1-1

证明：
原问题可转化为如下两个情况：
1、当$n>n_0$时,$f(n)>g(n)$，有$f(n)=\Theta (f(n)+g(n))$成立；
2、当$n>n_0$时,$f(n)<g(n)$，有$g(n)=\Theta (f(n)+g(n))$成立；
由于，$f(n)$与$g(n)$等价，因此，证明其中一种情况即可；
当$n>n_0$时，$f(n)>g(n)$
根据$\Theta (f(n)+g(n))$定义有，
$$\begin{gathered} c_1(f(n)+g(n))\le f(n)\le c_2(f(n)+g(n)) \\ {c}_1\le \frac{f(n)}{f(n)+g(n)}\le c_2 \end{gathered}$$
根据$f(n)>g(n)$知：
$$\frac{1}{2}<\frac{f(n)}{f(n)+g(n)}<1$$
因此，在$n>n_0$时,$f(n)>g(n)$情况下，总有$\exists c_1\le \frac{1}{2}$，$c_2\ge 1$使得不等式$c_1\le \frac{f(n)}{f(n)+g(n)}\le c_2$成立。
因此，情况1得证。

3.1-2

证明：
根据定义只需证明：当$n>n_0$时，$\exists c_1,c_2$使得不等式$c_1{n}^b\le (n+b{)}^b\le c_2{n}^b$成立。
$$\begin{gathered} c_1{n}^b\le (n+b{)}^b\le c_2{n}^b \\ {c}_1\le \frac{(n+b{)}^b}{n^b}\le c_2 \\ {c}_1\le (1+\frac{a}{n}{)}^b\le c_2 \end{gathered}$$
令$f(x)=(1+\frac{a}{x}{)}^b$，则$f^{\prime }(x)=b(1+\frac{a}{x}{)}^{b-1}\ast (-\frac{a}{x^2})$
由其导函数知，当$x\ge 1$的情况下，$f^{\prime }(x)<0$即，在$x\in [1,+\infty ]$上恒为单调递减函数。
因此$(1+\frac{a}{n}{)}^b$在$n=1,2,3...n$的情况下的最小值为：$li{m}_{n\to +\infty }=(1+\frac{a}{n}{)}^b=1$；
最大值为：$(1+a{)}^b$；
在$n>n_0$时, $c_1\le 1,c_2\ge (1+a{)}^b$的情况下，不等式$c_1{n}^b\le (n+b{)}^b\le c_2{n}^b$成立。
得证

3.1-3

$O(n^2)$表示的是上界，表示只有上限，并无下限，因此"至少"这个词导致这个表述无意义。

3.1-4

$2^{n+1}=O(2^n)$成立；
证明：
要证明$2^{n+1}=O(2^n)$，根据定义有，$\exists n>n_0,c$使得不等式$0\le 2^{n+1}\le c{2}^n$成立；
$$\begin{gathered} 0\le 2^{n+1}\le c{2}^n \\ 0\le 2\ast 2^n\le c{2}^n \end{gathered}$$
由上可知，当$n$为任意范围内值，$c\ge 2$时，不等式$0\le 2^{n+1}\le c{2}^n$成立。
得证。
$2^{2n}=O(2^n)$不成立；
证明：
若成立，那么根据定义有：$\exists n>n_0,c$使得不等式$0\le 2^{2n}\le c{2}^n$成立；
$$\begin{gathered} 0\le 2^{2n}\le c{2}^n \\ 0\le 2^n\ast 2^n\le c{2}^n \end{gathered}$$
因此需要$n\ge 2^n$，但是n是变量，因此，不成立。

3.1-5

证明：
必要性：
由等式$f(n)=\Theta (g(n))$可得，$\exists c_1,c_2,n>n_0，$使得不等式$0\le c_{1}g(n)\le f(n)\le c_{2}g(n)$成立，因此有：$0\le c_{1}g(n)\le f(n)$成立，$0\le f(n)\le c_{2}g(n)$成立。
所以有：$\exists c_1,n>n_0，$使得不等式$0\le c_{1}g(n)\le f(n)$成立，即：$f(n)=\Omega (g(n))$
$\exists c_2,n>n_0，$使得不等式$0\le f(n)\le c_{2}g(n)$成立，即：$f(n)=O(g(n))$
充分性：
由$f(n)=\Omega (g(n))$可得，$\exists c_1,n>n_0，$使得不等式$0\le c_{1}g(n)\le f(n)$成立；
由$f(n)=O(g(n))$可得，$\exists c_2,n>n_0，$使得不等式$0\le f(n)\le c_{2}g(n)$成立；
因此$\exists c_1,c_2,n>n_0，$使得不等式$0\le c_{1}g(n)\le f(n)\le c_{2}g(n)$成立，即$f(n)=\Theta (g(n))$

3.1-6

这个题类似于3.1-5。

3.1-7

假设$o(g(n))\bigcap \omega (g(n))\ne \varnothing$
那么一定存在一个$f(n):f(n)=o(g(n)),f(n)=\omega (g(n))$，
根据定义有：
$\exists n>n_1,\forall c_1$使得不等式$0\le f(n)<c_{1}g(n)$成立；
$\exists n>n_2,\forall c_2$使得不等式$0\le c_{2}g(n)<f(n)$成立；
由于$\exists c_1<c_2$使得上述不等式矛盾，因此假设错误。

3.1-8

Ω ( g ( n , m ) ) = { f ( n , m ) : ∃ 正 常 量 c , n 0 , m 0 , 使 得 对 所 有 n ≥ n 0 或 m ≥ m 0 ， 有 0 ≤ c g ( n , m ) ≤ f ( n , m ) } \Omega(g(n,m))=\{f(n,m):\exist正常量c,n_0,m_0,使得对所有n\geq n_0或m\geq m_0，有0\leq cg(n,m)\leq f(n,m)\} Ω(g(n,m))={f(n,m):∃正常量c,n0​,m0​,使得对所有n≥n0​或m≥m0​，有0≤cg(n,m)≤f(n,m)}
Θ ( g ( n , m ) ) = { f ( n , m ) : ∃ 正 常 量 c 1 , c 2 , n 0 , m 0 , 使 得 对 所 有 n ≥ n 0 或 m ≥ m 0 ， 有 0 ≤ c 1 g ( n , m ) ≤ f ( n , m ) ≤ c 2 g ( n , m ) } \Theta(g(n,m))=\{f(n,m):\exist正常量c_1,c_2,n_0,m_0,使得对所有n\geq n_0或m\geq m_0，有0\leq c_1g(n,m)\leq f(n,m)\leq c_2g(n,m)\} Θ(g(n,m))={f(n,m):∃正常量c1​,c2​,n0​,m0​,使得对所有n≥n0​或m≥m0​，有0≤c1​g(n,m)≤f(n,m)≤c2​g(n,m)}