算法导论3.1练习题

3.1-1:
$假设0\leqslant c_1(f(n)+g(n))\leqslant max(f(n),g(n)) \leqslant c_2(f(n)+g(n))$
$\therefore 0\leqslant c_1(x+y)\leqslant \frac{x+y+|x-y|}2 \leqslant c_2(x+y)$
​ $\because 0 \leqslant |x-y| \leqslant x+y$
​ $\therefore 0\leqslant \frac1 2 (x+y) \leqslant \frac{x+y+|x-y|}2 \leqslant x+y$
​ $\therefore c_1=\frac 1 2 ,c_2=1$
3.1-2
​ $假设 0\leqslant c_1(n^b) \leqslant (n+a)^b \leqslant c_2(n^b) \\ \because n+a \leqslant n+|a|\space \space n+a>0 \space \\ \therefore |a|\leqslant n \\ \therefore n+a \leqslant 2n \space \\ \because n+a\geqslant 0 \space \space n+a \geqslant n-|a| \space \\ \therefore n+a \geqslant n-|a| \\ \therefore n+a \geqslant \frac 1 2 n (如果不引入a的情况下) || n+a\geqslant \frac1 {|a|+1} n \\ \therefore c_1=\frac 1 2 ||\frac 1 {|a|+1} \space ,\space c_2= 2 , n_0=2|a| \space|| \space |a|+1$
3.1-3

​$O(n^2)$是一个Set并不是具体的运行时间，如果要转换，则运行时间是 $0\leqslant f(n) \leqslant c^2g(n^),T(n)\geqslant f(n)$ 是没有意义的

3.1-4

​$\because 2^{n+1}=O(2^n)\\ \therefore 2*2^n=c_2 2^n \\ \therefore c_2=2\\ \because 2^{2n}=O(2^n) \\ \therefore 2^{2n}=c_2 2^n \\ \therefore 2^n=c_2 \\ \because 0<n<\infty 且c_2是常量 \\ \therefore 2^{2n} \neq O(2^n)$

3.1-5

​定理证明需要充分性和必要性：
​ 充分性：$由f(n)=\Theta(g(n))得f(n)=O(g(n))且f(n)=\Omega(g(n)); \\ 根据\Theta定义：有N_0,C_0 ,C_1, 使得：当n>N_0 有C_0g(n)\leqslant f(n) \leqslant C_1 g(n),\\ 再根据O 和 \Omega 定义可得f(n)=O(g(n))且 f(n)=\Omega (g(n))$

​ 必要性：$由f(n)=O(g(n))且f(n)=\Omega (g(n))推出f(n)=\Theta(g(n)); \\ 根据O和\Omega 定义有：存在N_1,C_1使得：当n>N_1 有f(n)\leqslant C_1 g(n);\\ 存在N_2,C_0使得：当n>N_2 有f(n)\geqslant C_0 g(n);\\ 设N_0=max(N_1,N_2),则当n>N_0,有：C_0g(n)\leqslant f(n)\leqslant C_1g(n),即f(n)=\Theta (g(n))$
​所以，得证

3.1-6

可易证，根据定义$\Theta$给出了上下边界，而$O,\Omega$ 分别定义了上下边界

3.1-7

$\because let f\in (g(n))\cap \omega(g(n))\\ \therefore f=o(g(n))=\omega (g(n)) \\ \because o=\lim_ {n \to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=0; \omega=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} \\ \therefore o \neq \omega \\ \therefore f =null$

3.1-8

$\Omega (g(n,m))=\{ f(n,m):\\ constants:c,n_0,m_0;\\ if : n\geqslant n_0 \space and \space m\geqslant m_0; \\ thus : 0\leqslant cg(n,m) \leqslant f(n,m);\}$