卡特兰数

本文探讨了卡特兰数在多种计数问题中的应用,包括括号化、出栈次序、凸多边形三角划分、二叉搜索树构建及括号匹配等问题,并通过案例说明了其在具体场景中的计算方法。

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卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列

 

卡特兰数Cn满足以下递推关系 [1]  :

 

应用:

1.括号化

矩阵连乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种) [4] 

2.出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列? 

3.凸多边形三角划分

 

4.给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点,能构成多少种不同的二叉搜索树

(能构成h(N)个)

(这个公式的下标是从h(0)=1开始的)

5.n对括号正确匹配数目

给定n对括号,求括号正确配对的字符串数,例如:

0对括号:[空序列] 1种可能

1对括号:() 1种可能

2对括号:()() (()) 2种可能

3对括号:((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能

那么问题来了,n对括号有多少种正确配对的可能呢?

考虑n对括号时的任意一种配对方案,最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号,于是有唯一的表示A(B),其中A和B也是合法的括号匹配序列

假设S(n)为n对括号的正确配对数目,那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0),显然S(n)是卡特兰数。

 

案例:

先序序列为a, b, c, d的不同二叉树个数为多少?

根据卡特兰数公式:

代入数据:

即答案为14.

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