平衡二叉树的构造过程实例

平衡二叉树实现的实例

选取一组数据分别为2,1,0,3,4,5,6,9,8,7的10个结点来构造平衡二叉树。

首先数据为2的结点作为根结点插入,接着插入1,仍是平衡的,再插入0是,2的平衡因子变为2,此时出现了不平衡,因此需要进行调整,最低不平衡结点为2,属于LL型,调整过程如图1所示。


接着插入3,是平衡的,再插入4,此时出现了不平衡,结点 1 和 2 的平衡因子都为 -2,结点2为最低不平衡结点,属于RR型,调整过程如图2所示


接着插入5,此时结点 1 的平衡因子为 -2,导致不平衡,结点1为最低不平衡结点,属于RR型,调整如图3所示。


接着插入6,此时结点4的平衡因子为 -2,导致不平衡,结点4为最低不平衡结点,属于RR型,调整如图4所示。


接着插入9,是平衡的,再插入8,此时结点 3、5、6 的平衡因子都为 -2,导致不平衡,结点6为最低不平衡结点,属于RL型,调整如图5所示。


插入7,此时结点3、5的平衡因子为 -2,导致不平衡,最低不平衡结点为5,属于RL型,调整如图6所示。

### C++ 中实现二叉树构造算法 在 C++ 编程语言中,构建二叉树是一个常见的任务。可以通过不同的方式来创建一棵二叉树,比如基于先序遍历输入的方式或者通过表达式解析等方式。 #### 方法一:基于先序遍历的二叉树构建 一种常见且简单的方法是使用先序遍历来构建二叉树。这种方法假设用户按照根节点、左子树、右子树的顺序依次输入节点值,并用特定标记(如 `-1`)表示空节点。下面提供了一个具体的实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义二叉树节点结构 struct TreeNode { int val; TreeNode* left; TreeNode* right; TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; // 创建二叉树函数 TreeNode* createTree() { int value; cin >> value; // 输入当前节点的值 if (value == -1) { // 如果遇到特殊标志,则返回空指针 return nullptr; } TreeNode* root = new TreeNode(value); // 创建新节点 root->left = createTree(); // 递归创建左子树 root->right = createTree(); // 递归创建右子树 return root; // 返回当前节点作为父节点的孩子 } ``` 上述代码展示了如何通过递归调用来完成二叉树的构建过程[^2]。 --- #### 方法二:利用随机策略优化二叉树操作效率 为了进一步提升二叉树的操作性能,在某些场景下可以引入随机化技术。例如,Treap 是一种结合了堆性质和平衡二叉查找树特性的数据结构,其核心在于为每个节点分配一个优先级并保持堆属性的同时维护键值有序性。这种设计使得插入、删除等操作的时间复杂度接近 O(log n),从而提高了整体效率[^3]。 以下是简单的 Treap 节点定义以及旋转操作的基础框架: ```cpp #include <cstdlib> // 需要用于 rand() #include <climits> class TreapNode { public: int key, priority; TreapNode *left, *right; TreapNode(int k) : key(k), priority(rand()), left(NULL), right(NULL) {} // 初始化时设置随机优先级 }; ``` 注意这里的 `priority` 字段由标准库中的 `<random>` 或者传统 `rand()` 函数生成,具体取决于实际应用场景的需求。 --- #### 表达式树的具体实例 除了普通的数值型二叉树外,还有一种叫做 **表达式树** 的变体形式特别适用于处理算术表达式的存储与计算。在这种情况下,叶子结点保存的是操作数(Operands),而非叶结点则对应于各种运算符(Operators)[^5]。 举个例子来说,“a+b*c-d/e”的相应表达式树如下所示: ``` - / \ + / / \ / \ a * d e / \ b c ``` 对应的程序片段可能看起来像这样: ```cpp enum class NodeType { OPERATOR, VALUE }; struct ExprTreeNode { union ValueUnion { char op; // 当类型为OPERATOR时有效 double number; // 当类型为VALUE时有效 }; NodeType type; ExprTreeNode* left; ExprTreeNode* right; ExprTreeNode(char o): type(NodeType::OPERATOR), left(nullptr), right(nullptr){ this->ValueUnion.op = o; } ExprTreeNode(double num):type(NodeType::VALUE), left(nullptr), right(nullptr){ this->ValueUnion.number=num; } }; ``` 此部分主要讨论了不同类型的二叉树及其适用范围,包括常规整数序列构成的标准二叉树以及专门针对代数公式的表达式树两种情况][^[^45]。 ---
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