【算法&数据结构体系篇class39】卡特兰数

一、卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。其前几项为：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 

k(0) = 1, k(1) = 1时，如果接下来的项满足：

k(n) = k(0) * k(n - 1) + k(1) * k(n - 2) + ... + k(n - 2) * k(1) + k(n - 1) * k(0)

或者

k(n) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

或者

k(n) = c(2n, n) / (n + 1)

就说这个表达式，满足卡特兰数，常用的是范式1和2，3几乎不会使用到

二、题目一

假设给你N个0，和N个1，你必须用全部数字拼序列

返回有多少个序列满足：任何前缀串，1的数量都不少于0的数量

 

package class39;

import java.util.LinkedList;

/**
 * 假设给你N个0，和N个1，你必须用全部数字拼序列
 *
 * 返回有多少个序列满足：任何前缀串，1的数量都不少于0的数量
 *
 * 题型与成对括号是一样的。 有n个左括号，n个右括号 拼接全部字符()排序列 返回多少个满足的序列
 * 潜台词有效序列就是要 任何前缀串 左括号数量要不少于右括号的数量 比如 ())... 这里来到第三个字符 九出现右括号2个>左括号 就是无效的
 * 那么有效的排列是多少 根据排列组合  C(2N,N)  就是全部组合数 总共2n个字符，左括号n个 要在2n个的位置找n个 所以就是C 2N ,N
 * 那么无效的怎么算： 这里我们有个结论 就是 两个集合的数 分别都各自有一一对应的数 那么两集合就是相等数的
 * 我们将一个 无效的排序 在出现前缀串无效的后一个开始 后面的括号都取相反， 比如())(() 一开始是3个左右括号
 * 来到第三个 出现无效情况 ()),此时前缀肯you定是右括号个数=左括号个数+1
 * 接着后面的括号 (() 都取反 变成 ))( 这里也变成 右括号=左括号+1
 * 最终变成 右括号+1 = 左括号-1 大2个   而这种集合 就是一一对应无效排序的 所以算出 2n个中选N+1位置排列组合
 * 就是C(2N,N-1) 等价于无效排序组合是这么多
 * 那么有效的就是 C(2N,N) - C(2N,N+1)   来自公式一演算
 *
 *
 *
 * 这个题型是运用 卡特兰数的公式求解
 * k(0) = 1, k(1) = 1时，如果接下来的项满足：
 * k(n) = k(0) * k(n - 1) + k(1) * k(n - 2) + ... + k(n - 2) * k(1) + k(n - 1) * k(0)
 * 或者
 * k(n) = c(2n, n) - c(2n, n-1)
 * 或者
 * k(n) = c(2n, n) / (n + 1)
 * 就说这个表达式，满足卡特兰数，常用的是范式1和2，3几乎不会使用到
 */
public class Ways10 {

    //根据公式三直接算出结果
    public static long ways2(int n){
        //base case  0个 1个的时候 都能满足 有1种
        if(n < 0) return 0;
        if(n < 2)  return 1;

        //定义两个辅助变量
        long a = 1;