Catalan数—卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是 组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的 数列。以 比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

卡特兰数Cn满足以下递推关系 [1]   ：

原理

编辑

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 [2]   ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式 [3]   ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

求卡特兰数：

Java：

import java.math.BigInteger;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	     public static void main(String[] args) {
	    	Scanner in=new Scanner(System.in);
	    	BigInteger a[]=new BigInteger[105];
	    	a[0]=BigInteger.ONE;
	    	a[1]=BigInteger.ONE;
	    	for(int i=2;i<=100;i++){
	    		a[i]=a[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
	    	}
	    	int n;
	    	while(in.hasNext()){
	    		n=in.nextInt();
	    		if(n==-1)break;
	    		System.out.println(a[n]);
	    	}
	    	
	         
	     }

}

C++：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int num[105][105];
int main(){
 num[0][1]=1;
 num[1][1]=1;
 int k=1;
 for(int i=2;i<=100;i++){
    int mul=4*i-2,j=1,x;
    while(j<=k){
        int z=mul*num[i-1][j];
        x=j;
        num[i][x]+=z%10;
        num[i][x+1]+=z/10;
        for(int x=j,y=1;y<=5;y++)
            if(num[i][x]>=10){
                    num[i][x+1]+=(num[i][x]/10);
                    num[i][x]=num[i][x]%10;
                    x++;
                }

        j++;

    }

    for(int p=100;p>=1;p--)
        if(num[i][p]!=0){
        k=p;
        break;
        }
    j=k;
  while(j>=1){
    num[i][j-1]+=(num[i][j]%(i+1)*10);
    num[i][j]/=(i+1);
    j--;
  }
 }
 int n;
 while((cin>>n)&&n!=-1){
  for(int i=100;i>=1;i--){
    if(num[n][i]!=0){
        for(int j=i;j>=1;j--){
            cout<<num[n][j];
        }
        cout<<endl;
        break;
    }

 }
}
}