梯形递推公式

最新推荐文章于 2022-12-06 14:06:54 发布

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#算法

这篇博客介绍了梯形递推公式，通过在子段[xk, xk+1]上的积分值关系，推导出递推公式：T2n = 21Tn + 2hk=0∑n−1f(xk+21)，其中h是二分前的步长。文章还提及了算法实现的相关代码。" 120804512,10909777,深度学习与空气质量预测：模型比较与应用,"['深度学习', '环境科学', '空气质量', '模型预测', 'LSTM模型', 'CNN模型']

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简介

先考察一个子段 $x_k,x_{k+1}]$ ,其中点 $xk+12=12(xk+xk+1)x_{k+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_k+x_{k+1})$ ,在该子段上二分前后的两个积分值 $T1=h2[f(xk)+f(xk+1)]T2=h4[f(xk)+2f(xk+12)+f(xk+1)]T_1 = \frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})]\\ T_2 = \frac{h}{4}[f(x_k)+2f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$
显然有下列关系 $T2=12T1+h2f(xk+12)T_2 = \frac{1}{2}T_1 + \frac{h}{2}f(x_{k+\frac{1}{2}})$
将此关系式关于 $k$ 从 $0$ 到 $n - 1$ 累加求和，即可导出下列递推公式
$T2n=12Tn+h2∑k=0n−1f(xk+12)T_{2n} = \frac{1}{2}T_n + \frac{h}{2}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})$ 并强调其中 $h=b−anh=\frac{b-a}{n}$ 是二分前的步长，而 $xk+12=a+(k+12)hx_{k+\frac{1}{2}}=a + (k + \frac{1}{2})h$

给出代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x){
    if (x == 0) {
        return 1;
    }
    return sin(x)/x;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    double a, b, epsilon;
    cout<<"请依次输入积分区间[a,b], 允许误差epsilon"<<endl;
    cin>>a>>b>>epsilon;
    double h = b - a;
    double T1 = (f(a) + f(b)) * h / 2;
    double T2 = INFINITY;
    double S, x;
    bool flag = false;
    do{
        if (flag) {
            h /= 2;
            T1 = T2;
        }
        S = 0;
        x = a + (h / 2);
        while (x < b) {
            S += f(x);
            x += h;
        }
        T2 = (S * h / 2) + (T1 / 2);
        flag = true;
    }while(fabs(T2 - T1) >= 3 * epsilon);//误差的事后估计
    
    cout<<T2<<endl;
}

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