改进的欧拉格式

改进的欧拉格式

梯形格式

首先来看梯形格式
因为显式欧拉格式和隐式欧拉格式的局部截断误差分别为
$$R_i=\frac{h^2}{2}{y}^{{}^{\prime \prime }}(\xi )$$
$$R_i=-\frac{h^2}{2}{y}^{{}^{\prime \prime }}(\xi )$$
由中点欧拉格式平均的思想，我们设想将显式欧拉格式和隐式欧拉格式平均，则可将误差相抵消，得到下式
$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{x+1},y_{i+1})]$$
即梯形格式， 从几何上看梯形格式是取$[x_i,x_{i+1}]$两端点的平均斜率，具有二阶精度$O(h^2)$

改进的欧拉格式

1. 先用欧拉格式求一个初步近似$y_{i+1}$ 为预测值
2. 再用梯形格式对它进行一次校正

写成平均化的形式：
$$\{\begin{array}{lcl}{y}_p& =& y_i+hf(x_i,y_i)\\ y_c& =& y_i+hf(x_{i+1},y_p)\\ y_{i+1}& =& \frac{1}{2}(y_p+y_c)\\ & & (i=0,1,2,...,n-1)\end{array}$$

代码如下

#include <iostream>

double f(double x, double y){
    return y - (2 * x / y);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    double a, b, n, alpha;
    std::cout<<"请依次输入待估区间[a,b],步数n,初值条件y0"<<std::endl;
    std::cin>>a>>b>>n>>alpha;
    
    double h = (b - a) / n;
    double x0 = a;
    double y0 = alpha;
    double x1;
    double yp;
    double yc;
    double y1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        
        x1 = x0 + h;
        yp = y0 + h * f(x0, y0);
        yc = y0 + h * f(x1, yp);
        y1 = (yp + yc) / 2;
        
        std::cout<<x1<<"   "<<y1<<std::endl;
        
        x0 = x1;
        y0 = y1;
    }
    return 0;
}