戴德金定理-我自己做的中文翻译第13页

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这篇内容探讨了实数系统R中通过变量x的变化产生的分割（δ1, δ2）和（B1, B2），定义了x的上限α和下限值β。作者证明了当α=β时，存在一种连续性，即对于任意小的正数ϵ，x最终会无限接近于极限值α。这个讨论揭示了连续性法则与无穷小分析之间的紧密联系。

---------------------原文第13页-------------------
那么必然存在一个确定的数α产生了实数系统R的这个分割（δ1,δ2）,我称这个α为x的上限，
它总是有限的。类似的方式，作为变量x的变化的结果，系统IR(这里用IR表示实数域）的第
$二个分割（B_{1}，B_{2} )产生了。在x变化过程中，最终比x小的那些数β_{1}(例如,$
$a−δ)分配给B_{1}，每个其他的数β_{2}，分配给B_{2},有这样的特性：x永远不会最$
$终大于这些 β 2 ；因此， x 无穷多次变得小于 β 2 ，产生这个分割的 β 我称之为$
x的下限值。α和β有这样的特征：若ϵ是任意小的正数，最终会有x<α+ϵ和x>β−ϵ而不会
$发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ（译注：因为α−ϵ属于△_{1}，若最终x<α−ϵ，$
则α−ϵ属于 $_{2}$ ，矛盾；β+ϵ属于 $B_{2}$ ，若x最终>β+ϵ，则β+ϵ属于 $B_{1}$ ，矛盾）。这样就只有
两种可能，若α和β是两个不相同的数，那么就只能是α>β，因为 $α2\alpha_{2}$ 持续> $β_{1}$ ；变量x会
左右摇摆（根据前述，“不会发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ”，而β+ϵ和α−ϵ的距离为α-β-2ϵ），
不管这个过程如何进行，最终会出现x的变动值超过(α−β)−2ϵ。这与我一开始的假设矛盾。
这样就只剩下最后一种情况，α=β，而且我们已经发现，不管任意指定的ϵ多么
小，我们最终总能得到x<α+ϵ和x>β−ϵ ,x靠近极限值α。证毕。
这些例子足以表明连续性法则和无穷小分析之间的联系。