数的扩充与戴德金分化

最近在看《什么是数学》，在看到第六章证明单调序列有界必有极限的证明时，发现还有另一种证明方法，需要了解戴德金分化的知识，所以又在图书馆找到了《数学分析原理》教材，学习戴德金分化知识。
1.前言

中学教材中我们已经掌握有理数及其性质，由于初等数学的需要，有理数域的扩张成为必要。另一方面，我们举例 $\sqrt{2}$, 没有一个其平方能等于2的有理分数$p\over{q}$（$p$与$q$是两个自然数）存在。以下给出证明：
利用反证法
$\because$ $\exists$ $p\over{q}$, $p,q$互质,$\left(\frac{p}{q}\right)^2=2$
$\therefore$ $p^2$=$2q^2$
$\therefore$ $p$为偶数，$p=2r$ ($r$是整数)
$\therefore$ $q$为奇数，因$p,q$互质
$\therefore$ $q^2$=$2r^2$, 推知$q$为偶数, 这与之前$q$为奇数矛盾

2.有理数分割

考虑把全部有理数的集合分成两个非空的集合$A$, $A'$, 换句话说我们假定
（1）每一个有理数在且只在$A$与$A'$两个集合的一个之中
（2）集合$A$中的每一数$a$小于集合$A'$中的每一数$a'$
满足上面两个条件的分法称为分割，集合$A$叫做分割的下类，集合$A'$叫做上类, 分割用$A$|$A'$表示。
推论：
a) 凡小于下类中的数$a$的有理数，也属于下类
b) 凡大于上类$a'$的有理数也属于上类
分割的类型举例
1）把$A$定义为所有一切满足不等式$a<1$ 的有理数$a$的集合，而把$a'\geq 1$ 的全部有理数$a'$归入集合$A'$
结论：
a) 数$1$属于上类$A'$
b) $1$是其中最小的数
c) 下类$A$中没有最大的数
性质c)证明，假设下类$A$中存在最大的数$a_0$
$a_0$ $\in$ $A$ $\Rightarrow$ $a_0<1$
我们总能在$a_0$与$1$之间找到一个有理数$a_1$
$a_1>$ $1$ 且 $a_1$ $\in$$A$
这与$a_0$是下类$A$中最大的数矛盾
2）把$A$定义为所有一切满足不等式$a\leq1$ 的有理数$a$的集合，而把$a'> 1$ 的全部有理数$a'$归入集合$A'$
结论：
a) 数$1$属于下类$A$
b) $1$是其中最大的数
c) 上类$A'$中没有最小的数
前两类分割由有理数$r$产生，在这两类分割中$r=1$,我们定义$r$是$A$与$A'$两类中间的界数, 或者说这种分割定义了有理数$r$, 我们规定，凡说到定义有理数$r$的分割时，总把这个数归为上类。第三类分割直接导致无理数的产生，或者说这种分割定义了无理数$\alpha$
3.无理数定义
3） 把使$a^2<2$的一切正有理数$a$、零、以及一切负有理数都归入$A$类，而把一切使$a'^2>2$的正有理数$a'$归入$A'$类
我自己在看书的时候疑惑为什么$A'$类中不包含使得$a'^2>2$的负有理数，后来回看分割的定义（2）集合$A$中的每一数$a$小于集合$A'$中的每一数$a'$, 所以此处省去$A'$类满足$a'^2>2$的负有理数
结论：
a) 下类$A$无最大的数
b) 上类$A'$中无最小的数
性质a)证明
设下类$A$中任一正有理数$a$, $a^2<2$
再假设存在大于$1$的正有理数n,满足 $(a+\frac{1}{n})^2<2$
下面我们证明$n$存在
$(a+\frac{1}{n})^2<2$ $\Rightarrow$ $a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<2$ $\Rightarrow$ $\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<2-a^2$
我们对这个不等式取满足条件或严格条件，得到$\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<\frac{2a+1}{n}<2-a^2$
只要取 $n>\frac{2a+1}{2-a^2}$, 就可以满足$(a+\frac{1}{n})^2<2$
例如$a=1$, 我们取$n=4$就满足情况
补充说明：原教材此处未指明$n$的范围。因为$A$类中存在正有理数、零和负有理数，此处仅以正有理数举例，方便而已
因此处的$a$是$A$中任一正有理数，而我们在$A$类中总能找到比$a$大的数, 所以下类$A$中不存在最大的数
性质b)证明
设上类$A'$中任一正有理数$a'$, $a'^2>2$
再假设存在正有理数n,满足 $(a'-\frac{1}{n})^2>2$
下面我们证明$n$存在
$(a'-\frac{1}{n})^2>2$ $\Rightarrow$ $a'^2-2\frac{a'}{n}+\frac{1}{n^2}>2$ $\Rightarrow$ $a'^2-2>\frac{2a'}{n}-\frac{1}{n^2}$
同样我们对这个不等式取满足条件或严格条件，得到 $a'^2-2>2\frac{a'}{n}>\frac{2a'}{n}-\frac{1}{n^2}$
即只要满足 $a'^2-2>2\frac{a'}{n}$, 就可以满足$(a'-\frac{1}{n})^2>2$
所以取$n>\frac{2a'}{a'^2-2}$, 这样满足条件的$n$显然存在
例如$a'=1.42$, 我们取$n=171$就满足情况
因为此处的$a'$是上类$A'$中任一数，所以我们在$A'$类中总能找到比$a'$小的数, 所以下类$A'$中不存在最小的数
补充说明: 原教材没有给出证明。这个证明也要在$a'-\frac{1}{n}>0$的前提下，这样$a'-\frac{1}{n}$也属于上类$A'$
总结：第三类分割情形下，界数不存在，或者说分割不定义任何有理数，我们引进新的对象无理数，并说第三类分割定义了无理数$\alpha$, 不难想这个新的数就是$\sqrt{2}$
4.实数的有序化
把有理数与无理数统称为实数，现在需要建立实数的“大小”的概念
a) 相等
无理数：由两个分割$A|A'$与$B|B'$分别所定义的两无理数$\alpha$与$\beta$相等，当且仅当这两个分割相同时才算是相等
有理数：由两个分割$A|A'$与$B|B'$分别所定义的两有理数$\alpha$与$\beta$相等，当且仅当这两个分割相同时才算是相等
两个分割$A|A'$与$B|B'$相等，则当两个分割同为有理数分割或同为无理数分割时，两个分割$A|A'$与$B|B'$定义的数$\alpha$与$\beta$相等
b) 大于
有理数：中学课本已知
无理数：两个分割$A|A'$与$B|B'$分别所定义的两无理数$\alpha$与$\beta$，我们把具有较大的下类的那个数算是较大的，算作$\alpha>\beta$
c) 小于
两个分割$A|A'$与$B|B'$分别所定义的两无理数$\alpha$与$\beta$，我们把具有较小的下类的那个数算是较小的，算作$\alpha<\beta$
两个引理
引理1
不论$\alpha$与$\beta$是两个怎样的实数，若$\alpha>\beta$，总可找到这样的实数$r$使得$r$介于$\alpha$与$\beta$之间
引理2
$\alpha$与$\beta$是两个给定的实数, 如果不论取怎样的有理数$e>0$, 总能使$\alpha$与$\beta$夹在两个有理数的中间:
$s'\geq \alpha \geq s$ , $s'\geq \beta \geq s$
其中
$s'-s<e$, 则$\alpha$与$\beta$必定相等
这两个引理不再证明，书本上也可以理解
5.实数的完备性
在考虑有理数的分割时，有时有这样一种分割即上面的第三类分割，使在这集合中没有产生分割的界数，这种有理数集合在其内留有空隙的性质称为不完备性
而对实数的分割来说，可以证明这种空隙不存在，把实数集合的这个性质叫做它的完备性
叙述为戴德金基本定理
对于实数集合的分割$A|A'$
（1）每一个实数在且只在$A$与$A'$两个集合的一个之中
（2）集合$A$中的每一数$a$小于集合$A'$中的每一数$a'$
存在有产生这个分割的实数$\beta$，这个数$\beta$
1）或者是下类$A$中的最大数
2）或者是上类$A'$中的最小数
证明如下：
对实数集合的任一分划$A|A'$，可以假设$A'$中无最小数
$\forall a \in A$，$b \in A'$
意味着这种分割切出了不属于实数的界数$c$，倘若存在，这个界数是针对新的数集而言，并非实数集
$a<c<b 且c\notin R$
由于此时$A|A'$是实数集的分划，有理数集又是实数集的真子集，则$A|A'$也是有理数集的分划
但由实数的定义，即实数是有理数的所有分划的集合知，有理数只有两种分划，即有理分划和无理分划。这与$c$不属于$R$，即$c=A|A'$既不是有理分划也不是无理分划相矛盾。所以假设不成立，$A'$中必有最小值。另一情况中必有最大值也与此类似证明。
补充：菲赫金哥尔茨的《数学分析原理》在戴德金定理的证明存在一些描述的问题，让人看不懂
6.结语
为期几天的数学分析学习，感受到了数学的严谨之美，不得不吐槽俄罗斯的数学教材的晦涩，一小节我读了好遍，而且不知道是翻译问题还是作者的问题，书本有些内容没有描述清楚。总体而言还是非常好的教材，我感觉比国内的一些直接讲极限的教材好些，若是辅助其他教材来看，效果会更好些。