Atcoder ABC180 F Unbranched dp 组合数学 （无代码）

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题意:
求$n$个点$m$条边的点有编号边无编号的满足以下条件的无向图个数：
$1.$不必是简单图或连通图
$2.$每个点度数最多是$2$
$3.$最大连通块的大小恰好是$l$

$2<=n<=200,1<=m,l<=n$
模$1e9+7$

题解：
首先注意思考图的本质不同。首先要注意到你给一个连通块选的点的顺序不同，但是点的集合是一样的，这两种方案是相同的。

然后考虑这题最特别的一点要求，就是每个点的度数最多是$2$，那么说明这个图的每一个连通块要么是一条链（包括单独一个点），要么是一个环。

我们很容易考虑一个状态：$dp[i][j]$表示选了$i$个点，有$j$条边的方案数。但是这样有一个问题，就是我们不能很好的限制最大连通块大小恰好是$l$。可能可以用一维$0/1$来记录这个状态是否选过大小是$l$的块来做。但是标算的做法是用一个简单的容斥思想：用最大块大小最多是$l$的答案减去最大块大小最多是$l-1$的答案。

这样我们想清楚怎么计算答案之后，就该考虑如何转移dp了。我们用分类讨论的办法考虑dp的转移。

这里首先说这题最关键的地方，也是我记录这题的主要原因，就是这里的计数需要先强制当前编号最小的没选过的点一定要选，尽管我们并不关心它具体是哪个点。这里关键问题是，不做这个强制直接乘组合数的话，会出现重复。举个例子：会出现先选1、2再选3、4和先选3、4再选1、2会被重复计算。当时我的一个想法是从小到大考虑块的大小，然后一次把相同大小的块一起考虑来更新答案，再除一个阶乘，但是答案还是不对，暂时没想好是写挂了还是数得就不对。

先讲正解做法，考虑转移。

1.加入一个单独的点，这个点形成一个新的连通块。
$dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]$

2.加入一条长度为$k$的链($2<=k<=l$)。注意到链上的点可以随意排列，但是在图的意义下把一个排列翻转和原排列是等价的，所以要除$2$。因为强制选编号最小的没选的点，于是组合数那里要减$1$。
$dp[i][j]+=dp[i-k][j-k+1]\ast C_{n-(i-k)-1}^{k-1}\ast \frac{k!}{2}$

3.加入一个大小为$2$的环
$dp[i][j]+=dp[i-2][j-2]\ast C_{n-(i-2)-1}^{2-1}$

4.加入一个大小为$k$的环($k>2$)。注意到环排列的公式是$(n-1)!$
$dp[i][j]+=dp[i-k][j-k]\ast C_{n-(i-k)-1}^{k-1}\ast \frac{(k-1)!}{2}$

这样就做完了，复杂度$O(n\ast k\ast l)$

代码暂时没有。