28、在 k 网格上绘制无序树

在 k 网格上绘制无序树

1. 引言

在网格上绘制无序树是一个具有挑战性的问题，特别是对于高维网格。本文将探讨在不同类型的 k 网格（如 4 网格、6 网格和 8 网格）上绘制无序树的相关问题，包括确定特定度数的树是否能在网格上以单位边长绘制，以及不同类型树（如 7 元树、三元树）在 8 网格上的绘制面积界限和复杂度等。

2. 预备知识

• k 网格的定义
  • 4 网格 ：无限平面无向图 $G = (V, E)$，顶点 $V$ 具有整数坐标，边 $E$ 连接垂直或水平单位距离的顶点对。
  • 6 网格 ：在 4 网格的基础上，通过为坐标为 $(x, y)$ 的顶点 $u$ 和坐标为 $(x + 1, y - 1)$ 的顶点 $v$ 添加边 ${u, v}$ 得到，具有六个方向。
  • 8 网格 ：在 6 网格的基础上，为坐标为 $(x, y)$ 的顶点 $u$ 和坐标为 $(x + 1, y + 1)$ 的顶点 $v$ 添加边 ${u, v}$ 得到。
  • 顶点 $u, v \in V$ 在 k 网格上的距离定义为最大度量 $d(u, v) = \max(|u_x - v_x|, |u_y - v_y|)$。
• 树的相关定义
  • d 元树 ：对于有根无序树 $T = (V