38、固定点上使用 L 形边绘制树的改进边界

固定点上使用 L 形边绘制树的改进边界

在图绘制领域，将平面图形的顶点限制在平面上指定点集进行绘制的问题一直备受关注。本文聚焦于树的绘制，特别是使用 L 形边（正交路径的两条线段）进行平面绘制的情况。

1. 问题背景

在平面上绘制图时，我们面临着诸多限制和问题。例如，图的顶点需放置在指定点集上，同时要考虑边的绘制方式，如边的弯曲数量等。

• 基本结果 ：每个平面 n 顶点图都能在任意 n 点集上进行平面绘制，且每条边最多有 2 个弯曲。但如果要求边为直线段，n 个一般位置的点可绘制树和外平面图，然而对于非外平面图，此结果不成立，且该问题的决策版本为 NP 完全问题。
• 通用点集问题 ：由于 n 个点并不总是足够，我们自然会问通用点集需要多大，以及任意点集成为通用点集需要多少点。目前已知上界为 O(n²)，下界为 c · n（c > 1）。
• 正交图绘制 ：正交图绘制中，由于一个顶点最多有 4 条边，我们主要关注最大度为 4 的图。我们研究的是最简单的正交绘制类型，即每条边为 L 形边的平面 L 形绘制。

2. 前人研究

• L 形绘制问题 ：Di Giacomo 等人引入了平面 L 形绘制问题，并证明最大度为 4 的树能在 n² - 2n + 2 个点集上进行平面 L 形绘制。Aichholzer 等人将此边界改进为 O(n^c)（c = log₂3 ≈ 1.585），但目前尚不清楚 n 个点是否总是足够