39、具有 L 形边的树在固定点上绘制的改进边界及向上树绘制的复杂度研究

具有 L 形边的树在固定点上绘制的改进边界及向上树绘制的复杂度研究

1. 具有 L 形边的树绘制的边界改进

在树的绘制问题中，对于具有 L 形边的树在固定点上的绘制，有许多重要的结论。

对于二叉树，有以下定理：
- 定理 3 ：任何具有 n 个节点的完美二叉树，在大小为 c · n^1.142（c 为常数）的任何点集上都有 L 形绘制。
- 定理 4 ：任何二叉树在大小为 c · n^1.22（c 为常数）的任何点集上都有 L 形绘制。

对于最大度为 4 的树（这里视为三元树），有不同的绘制方法及相应的递归关系：
- f4 - draw - 1 方法 ：
1. 从点 p 向下延伸垂直射线到水平半网格线 h，将区域 Q 由 h 和向下到 h 的射线划分为三部分：h 下方的矩形 QB、左上矩形 QL 和右上矩形 QR。
2. 选择 h 为最高的半网格线，使得 QL 或 QR 有 2f(na1) + 2f(nb1) 个点，不妨设为 QL。
3. 将 QL 垂直划分为两个矩形 QLL 和 QLR，左边至少有 f(na1) 个点，右边至少有 f(nb1) 个点。
4. 将根 r0 放置在 QLR 的最底点。
5. 从 r0 向上延伸射线，在 QLR 中剩余的 f(nb1) - 1 个点上递归绘制 Tb1。
6. 从 r0 向左延伸射线，在 QLL 的 f(na1) 个点上递归绘制 Ta1。
7. 从 r0 向下延伸射线，在 QB 中递归绘制 Tr1。
该方法所需的点数最多为 2