21、点集嵌入问题的复杂性与算法研究

点集嵌入问题的复杂性与算法研究

在图论和图绘制领域，点集嵌入问题一直是一个备受关注的研究方向。本文将深入探讨点集嵌入问题的复杂性，特别是针对 3 - 连通平面图的情况，并介绍针对特定类型图的有效算法。

1. 基本概念

• 平面嵌入与直线绘制 ：平面图可以在欧几里得平面上进行平面嵌入。平面图形是平面图的固定平面嵌入。平面图形的直线绘制是一种平面绘制，其中顶点绘制为点，边绘制为直线段。在直线网格绘制中，图的顶点放置在整数网格点上。
• 点集嵌入 ：具有 n 个顶点的平面图形 G 在 n 个点的集合 S 上的点集嵌入是 G 的直线绘制，其中 G 的顶点映射到 S 的不同点。

2. 问题背景与已有研究

• 相关问题探索 ：为满足不同实际应用的需求，研究人员探索了各种相关问题，目标是在满足不同美学要求的前提下，将给定平面图形的顶点放置在一组预先指定的位置上。
• 已知复杂度结果 ：点集嵌入问题对于外平面图和平面 3 - 树是多项式时间可解的，但对于 2 - 连通平面图是 NP - 完全的。此外，一些图绘制问题对于 2 - 连通平面图是 NP - 难的，但对于 3 - 连通平面图可以在多项式时间内解决。然而，之前用于证明点集嵌入问题 NP - 难的技术似乎不适用于 3 - 连通平面图的情况。

3. 3 - 连通平面图的点集嵌入问题

• 问题定义