22、点集嵌入问题与字符串覆盖数组的研究进展

点集嵌入问题与字符串覆盖数组的研究进展

点集嵌入问题的NP难度

点集嵌入问题是图论中的一个重要问题，主要研究能否将图的顶点嵌入到给定的点集中。之前有研究证明了2 - 连通平面图的点集嵌入问题是NP难的，而现在的研究进一步表明，该问题对于3 - 连通平面图仍然是NP难的。

证明过程是将哈密顿回路（HC）问题的一个实例转化为多项式数量的点集嵌入（PSE）问题的实例。如果存在多项式时间算法来解决PSE问题，那么就可以在多项式时间内得到HC问题实例的答案，这在P ≠ NP的情况下是不可能的。不过，这里构造的点集包含很多共线点，一个有趣的研究方向是探讨当点集中任意三点都不共线时，是否还能进行类似的归约。

Klee图的凸点集嵌入

Klee图是3 - 连通平面图的一个特定子类。为了计算具有n个顶点且恰好有三个外部顶点的Klee图在一组n个一般位置点上的凸点集嵌入，提出了一个O(n⁸)时间的算法。在介绍算法之前，先了解一些Klee图及其凸点集嵌入的性质。
- 对偶图和弱对偶图 ：对于平面图G，其对偶图G 为G的每个面都有一个顶点，若G中两个面共享一条边，则G 中对应的两个顶点相邻。G的弱对偶图是G 的子图，其顶点对应G的内部面。
- Klee图的判定 ：若平面图G恰好有三个外部顶点，那么G是Klee图当且仅当G的弱对偶图G 是平面3 - 树。
- 近Klee图 ：近Klee图K是通过删除某个恰好有三个外部顶点的Klee图的外部顶点得到的平面图。每个具有n ≥ 3个顶点的近Klee图