11、最大零和划分问题的深入剖析

最大零和划分问题的深入剖析

1. 问题背景与初步证明

最大零和划分问题（MZSP）在算法复杂度领域有着重要的研究价值。首先，我们证明了一个关键的归约过程。假设存在一个大小为 2 的 MZSP 零和划分，对于集合 $S$，能找到一个非空零和（多重）子集 $P \subset S$，且不包含负整数 $-N \sum_{i=0}^{q} p_i$。设 $i_0$ 是使得 $-Np_{i_0}$ 属于 $P$ 的最小索引。对于所有 $i \in [0, i_0 - 1]$，有 $p_iX \cap P = \varnothing$。通过反证法，若不成立，设 $A$ 是 $\left(\sum_{i=0}^{i_0 - 1} p_iX\right) \cap P$ 中元素的和，可推出 $A < p_{i_0}$ 且 $p_{i_0}$ 不整除 $A$，但 $p_{i_0}$ 整除 $P$ 中其他元素，从而得出矛盾。

考虑 $P’ = P \bmod p_{i_0 + 1}$，能得出存在一个（多重）子集 $K \subset X$，使得 $\sum_{a \in K} p_{i_0}a \equiv Np_{i_0} \bmod p_{i_0 + 1}$。由于 $p_{i_0 + 1} > 2Np_{i_0}$，进而得到 $\sum_{a \in K} a = N$，即得到了划分问题的一个肯定实例。

接下来证明不可近似性结果。设 $\epsilon$ 为任意严格正值，假设存在一个 MZSP 的近似算法 $A$，其近似比 $\rho = O(n^{1 - \epsilon})$，其中 $n = |S|$。对于划分问题的一个实例 $X$，设 $C$ 为常数，使得对于足够大的 $n$