7、线段最远颜色 Voronoi 图的紧界分析

线段最远颜色 Voronoi 图的紧界分析

1. 引言

Voronoi 图是一种极为流行的几何结构，几十年来不仅在计算机科学领域，还在众多科学与工程领域受到了广泛且持续的关注。它有许多推广和变体，在这些领域的问题中得到了应用。典型的最近点 Voronoi 图将平面划分为多个区域，使得每个区域内的点到该区域对应的站点的距离比到其他站点的距离更近。而最远点 Voronoi 图则是其一种自然变体，其中一个站点的 Voronoi 区域是平面中到该站点的距离比到其他任何站点都远的点的集合。

最远颜色 Voronoi 图将典型的最远点 Voronoi 图推广到了有色站点的情况。假设有 $k$ 个站点集合 $S = {S_1, \ldots, S_k}$，总共包含 $n$ 个生成元（可以是点或线段），且每个 $S_i$ 内的生成元两两不交叉，但不同集合中的线段可能交叉。对于平面上的点 $x$ 到站点 $S_i$ 的距离 $d_i(x)$，定义为 $x$ 到 $S_i$ 中生成元的最小距离（基于任意固定的 $L_p$ 度量 $\delta$）。这种类型的最远点 Voronoi 图被称为最远颜色 Voronoi 图，记为 $FCVD(S)$。“颜色”这一术语的选择很直观，可想象每个 $S_i$ 中的生成元都被标记为颜色 $i$。最远颜色 Voronoi 图在多个领域有应用，如多类型设施的选址问题、无线传感器网络中的传感器部署问题以及豪斯多夫 Voronoi 图等。

容易发现，最近颜色 Voronoi 图与所有生成元关于 $L_p$ 度量 $\delta$ 的 Voronoi 图 $VD_{\delta}(\bigcup S_i)$ 是一致的。如果所有线段不相交，该图的组合复杂度为 $O(n)$，并