8、线段最远颜色 Voronoi 图与平面范围聚合最大点问题解析

线段最远颜色 Voronoi 图与平面范围聚合最大点问题解析

1. 线段最远颜色 Voronoi 图的复杂度分析

在研究线段最远颜色 Voronoi 图（FCVD(S)）时，我们先从其复杂度的上下界入手。
- 引理 4 ：对于 FCVD(S) 的每个有界面 f，其边界 ∂f 上至少存在一条单色边。
- 引理 5 ：FCVD(S) 最多由 O(kn + h) 条单色边组成。
基于这两个引理，我们可以证明 FCVD(S) 复杂度的上界。
- 引理 6 ：FCVD(S) 的组合复杂度为 O(kn + h)。
- 证明 ：根据欧拉公式，FCVD(S) 的组合复杂度与其面的数量成正比。由引理 3 可知，FCVD(S) 的无界面数量受 O(kn + h) 限制。对于有界面，根据引理 4，有界面的数量不超过单色边数量的两倍，而单色边数量又受 O(kn + h) 限制。因此，FCVD(S) 的面的数量为 O(kn + h)。

接下来，我们构建一个匹配的下界 Ω(kn + h)。
- 参数约束 ：对于正整数 n，k 应不超过 n。给定 n 和 k，最大交叉数最多为 ( \binom{k}{2} \frac{n^2}{k^2} < \frac{n^2}{2} )。
- 引理 7 ：对于满足 k ≤ n 且 h ≤ ( \binom{k}{2} \frac{n^2}{k^2} ) 的正整数 n、k、h，存在一个由 k 个站