6、旅行时间度量下的最远Voronoi图

旅行时间度量下的最远Voronoi图

1. 基本概念与性质

在旅行时间度量下，最远Voronoi图（Farthest Voronoi Diagram）有着独特的结构。对于一组点集 $S$，细化后的最远Voronoi图 $FV^ (S)$ 的每个面要么由 $S$ 中的某个点 $p$ 决定，要么由两个针点 $r_p \in S_p$ 和 $r_q \in S_q$（$p, q \in S$）所确定的平分线 $B(p, q)$ 的一部分构成。$FV^ (S)$ 的每个顶点要么是 $V_0(S_p)$ 的顶点，要么是 $\partial FR(p, S)$ 与 $V_0(S_p)$ 的一条边的交点，且每个顶点至少由三个针点确定，因此至少与三条边相关联。

以下是几个重要的性质：
- 引理5 ：对于任意子集 $S’ \subseteq S$ 以及 $p, q \in S’$，有以下性质：
- (a) 点 $p$ 位于其最近区域的内部，即 $p \in intR(p, S’)$。
- (b) 对于任意两个点 $x, y \in R^2$，存在 $z \in R^2$ 使得 $P_p(x) \cap P_p(y) = P_p(z)$，即它们不相交。
- (c) 对于任意 $x \in clR(p, S’)$，$P_p(x) \setminus {x}$ 包含在 $R(p, S’)$ 中，因此 $R(p, S’)$ 是路径连通的。
- (d) 对于任意 $x \in R^2 \setminus intFR(p, S’)$，$(P_p(x) \setminus {x}) \cap FR(p, S’) = \va