5、无限维系统的可观测性、可控性与输入输出映射

无限维系统的可观测性、可控性与输入输出映射

1. 观测性

当 (C_0 \in \mathcal{B}(V_0, R)) 时，观测在自然（能量）状态空间 (V_0 \times R \times H_0 \times R) 上是有界的。

考虑系统 (\dot{z}(t) = Az(t))，(z(0) = z_0)，其中 (A) 在希尔伯特空间 (Z) 上生成一个 (C_0) - 半群 (S(t))，对于 (C \in \mathcal{B}(Z, Y))，输出为 (y(t) = Cz(t))，从初始条件 (z_0) 到输出 (y) 的映射为 ((C(T)z_0) = CS(\cdot)z_0)。对于每个 (T > 0)，(C(T)) 是从 (Z) 到 (L^2([0, T]; Y)) 的有界算子。

1.1 可观测性定义

• 精确可观测性 ：观测系统 ((A, C)) 在 ([0, T]) 上精确可观测，当且仅当在区间 ([0, T]) 上的观测 (Cz(t)) 能唯一且连续地确定初始状态。即存在 (\gamma > 0)，使得对于所有 (z_0 \in Z)，有 (\int_{0}^{T} |(C(T)z_0)(s)|^2 ds \geq \gamma |z_0|^2)。
• 近似可观测性 ：观测系统 ((A, C)) 在 ([0, T]) 上近似可观测，当且仅当在区间 ([0, T]) 上的观测 (Cz(t)) 能唯一确定初始状态。即对于所有 (z_0 \neq 0)，有 (\int_{0}^{T} |(C(T)z_0)(s)|^2 ds