7、高效体积网格Reeb图计算方法详解

高效体积网格Reeb图计算方法详解

1. 概述

本文将介绍一种高效计算体积网格Reeb图的方法，主要包含以下几个方面：
- 一种名为“环手术（Loop Surgery）”的过程，可将Reeb图的计算问题转化为轮廓树的计算问题。
- 一种实用的Reeb图计算算法，其复杂度为$O(n logn + Nα(N) + g(M@) × NS)$。
- 证明了使用join - split轮廓树算法正确计算无环Reeb图的充要条件。

2. 预备知识

考虑一个定义在嵌入于$R^3$的PL 3 - 流形$M$上的PL Morse标量场$f: M → R$。

2.1 PL 3 - 流形上Reeb图中的环

环手术的关键思想是定义一系列操作，将$M$转换为$M’$，并使$f’: M’ → R$（取值由$f$决定）的Reeb图$R(f’)$无环，从而可以使用轮廓树算法高效计算。
由于$M$是紧致且可嵌入$R^3$的，$\partial M$必然非空、可定向且封闭，但可能不连通。设$f_{\partial}$是$f$在$\partial M$上的限制，假设$f$和$f_{\partial}$都是PL Morse函数。
有以下关系：
- $l(R(f_{\partial})) = g(\partial M)$，其中$g(\partial M)$是$M$边界组件的亏格之和。
- $\beta_1(M) = g(\partial M)$，$M$的手柄数量（即第一贝蒂数$\beta_1(M)$）等于边界表面隧道的数量。
- $l(R(f)) ≤ \beta_1(M) = g(\partia