8、高效Reeb图计算与交互式拓扑抽象操作

高效Reeb图计算与交互式拓扑抽象操作

1. 高效Reeb图计算

在处理体积网格时，高效计算Reeb图是一个关键问题。这里介绍了一种基于循环手术（loop surgery）的方法来实现这一目标。

1.1 无环Reeb图计算

通过属性3.3可知，可以使用轮廓树算法来计算无环Reeb图。由于只是对网格M进行符号切割，因此使用了修改版的连接 - 分裂算法。具体步骤如下：
1. 顶点处理 ：按函数值递增的顺序处理顶点，将每个顶点v添加到连接树中，并在并查集（Union - Find）中创建一个新集合。
2. 模拟切割 ：如果顶点v的星型结构中包含指向切割面的四面体，通过添加每个切割面Si到连接树和并查集，模拟新的子水平集和新的最小值的存在。
3. 四面体迭代 ：迭代顶点v的星型结构中，在其下链中有顶点的四面体。对于每个这样的四面体T，如果有切割面Si穿过它，选择低于v的最高切割面Si。
4. 集合合并 ：执行查找操作并合并集合，同时在连接树中添加一条弧。这模拟了用Si切割M，将v连接到一个“人工”最小值。
5. 下链顶点处理 ：处理未被任何切割面断开的v的下链中的顶点。如果v的下星型结构中没有四面体被切割面穿过，则可以按原算法处理v的下链。
6. 分裂树计算与合并 ：对称地计算分裂树，然后按连接 - 分裂算法合并两棵树，得到无环Reeb图R(f’)。

1.2 逆切割