6、标量场拓扑简化与Reeb图计算的高效算法

标量场拓扑简化与Reeb图计算的高效算法

1. 标量场的高效拓扑简化

在处理标量场时，高效的拓扑简化是一个重要的任务。通过交替进行子水平集和超水平集的重建，可以逐步减少函数范围，使得剩余极值及其对应的鞍点在全局顶点排序中连续，从而实现拓扑简化。

1.1 从符号扰动到数值扰动

收敛后，为了用数值表示输出场 ( g )，需要将符号扰动（顶点偏移 ( o.v )）转换为数值扰动。具体操作如下：
1. 按递增顺序遍历最终数组 ( A )。
2. 当一个顶点的值等于（或低于）其前一个顶点的值（( g.A[i] \leq g.A[i - 1] )）时，将该顶点的函数值增加一个任意小的值 ( \epsilon )，即 ( g.A[i] = g.A[i - 1] + \epsilon )。
3. 为了保持 ( | f - g |_1 ) 较小，数值扰动应仅在需要的地方（( g ) 的平坦区域）进行。例如，在图 3.5 中，顶点 ( D )、( B ) 和 ( C ) 的最终函数值应在区间 ( (f(E), f(F)) ) 内，因此 ( \epsilon ) 应小于 ( \frac{\delta f}{n} )，其中 ( \delta f ) 是输入中最小的（非零）函数值绝对差，( n ) 是 ( M ) 中的顶点数。

1.2 算法性质

• 与 ( \tau ) - 简化的关系 ：算法的隐式配对与基于持久性的临界点配对兼容。给定一个极值移除，它将一个最小值（或最大值）与其在连接树（或分裂树）上最接近的鞍点配对。并且，给定一个极值移除，( | f - g |_1 ) 等于极值