1.7 离散频率

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1.7 离散频率

离散时间和采样率

模拟到数字转换器 (ADC) 对连续时间信号进行采样以生成离散时间样本。对于数字信号处理器来说，该信号仅存储在内存中作为一系列数字。因此，采样率 $F_S$

对于时间而言，可以轻松确定存储在内存中的此类信号的周期或频率。例如，图 1.44 中的正弦波的周期 $TT 很明显是 10 个样本，而采样时间 TS=1FST_S = \frac{1}{F_S}$

图 1.44：离散时间正弦波

对于采样率 $F_S = 10$
对于采样率 $F_S = 500$

离散频率和采样率

假设以采样率 $FS=1TSF_S = \frac{1}{T_S}$

$$I \rightarrow V_I[n] = \cos 2\pi \frac{1}{N T_S} \cdot t = \cos 2\pi \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{T_S} \cdot n$$$$Q \uparrow V_Q[n] = \sin 2\pi \frac{1}{N T_S} \cdot t = \sin 2\pi \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{T_S} \cdot n$$

图 1.45：两个离散时间正弦波的 Q 部分

其中一个有 $NN 个样本，离散频率为 1N\frac{1}{N}$
另一个频率为 $2N\frac{2}{N}$

因此， $1N\frac{1}{N}$

现在考虑以下方程：

$$\frac{1}{N T_S} = \frac{F_S}{N} = F_S \cdot \frac{1}{N}$$

并观察以下内容：

实际频率为 $FS(1N)F_S \left( \frac{1}{N} \right)$
由这种离散设置中可以表示的最低频率决定的频率分辨率为 $FSN\frac{F_S}{N}$
视为 $FS⋅1NF_S \cdot \frac{1}{N}$

$$0, \frac{1}{N}, \frac{2}{N}, \cdots$$

因此，所有这些复数正弦波的频率都是基频 $1N\frac{1}{N}$

进一步扩展这个概念，复数正弦波的离散频率为 $kN\frac{k}{N}$

正交性

我们称频率为 $1N\frac{1}{N}$

$$\sum_{n=0}^{N-1} \sin \left( 2\pi \frac{1}{N} n \right) \cdot \sin \left( 2\pi \frac{2}{N} n \right) = 0 \tag{1.46}$$

这一点可以从图 1.45 中得到验证。注意 B 在 $个样本中有 2 个周期。在第一个周期中，B 的样本与 A 的负样本相乘。$

其第二个周期中，相同的乘积与正号的 样本具有完全相同的幅度。通过这种方式，这个和为零。

从图 1.45 中画的两个样本的圆可以看出这一点。验证正弦波 $的相应样本具有相反的符号。由于 DSP 的原始工作原理是复数正弦波而不是实数正弦波，因此我们现在在该上下文中分析正交性。$

由于第二个信号的共轭，结果的 $II 项为 I⋅I+Q⋅QI \cdot I + Q \cdot Q$

$$I \rightarrow \sum_{n=0}^{N-1} \left[\cos\frac{2\pi k}{N}n \cdot \cos\frac{2\pi k'}{N}n + \sin\frac{2\pi k}{N}n \cdot \sin\frac{2\pi k'}{N}n \right]$$$$Q \uparrow \sum_{n=0}^{N-1} \left[\sin\frac{2\pi k}{N}n \cdot \cos\frac{2\pi k'}{N}n - \cos\frac{2\pi k}{N}n \cdot \sin\frac{2\pi k'}{N}n \right]$$

使用等式 $cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$

$$I \rightarrow \sum_{n=0}^{N-1} \cos \frac{2\pi (k-k')}{N} n = \begin{cases} N & k=k' \\ 0 & k\neq k' \end{cases}$$$$Q \uparrow \sum_{n=0}^{N-1} \sin \frac{2\pi (k-k')}{N} n = 0$$

我们利用了样本和的事实， $cos⁡(⋅)\cos(\cdot)$

我们已经证明了以下结果：

“所有具有频率为基本频率 $F_s(1/N)$ 整数倍的复数正弦波彼此正交。”

离散频率轴

对于具有 $个离散时间域样本，是否存在无限的复数正弦波彼此正交？答案是否定的，我们认为它们的数量仅为。为了验证这一点，让我们探索一个离散频率的选项。$

$$\sin\frac{2\pi N}{N}n = \sin 2\pi n = 0$$

‍

图 1.46：在 $NN 个样本中，离散频率为 k/Nk/N 的复数正弦波与任何其他离散频率为 k′≠kk' \neq k$

因此，离散频率为 0 的复数正弦波与离散频率为 1 的复数正弦波相同。对于下一个候选者 $，使用$

$$\sin\left(2\pi\frac{N+1}{N}n\right) = \sin\left(2\pi n \cos 2\pi \frac{1}{N}n\right) + \cos\left(2\pi n \sin 2\pi \frac{1}{N}n\right) = \sin\left(2\pi \frac{1}{N}n\right)$$

因为 $sin⁡(2πn)=0\sin(2\pi n) = 0$

在离散时间域中有 $个样本时，离散频率域中也有个样本！这些个样本代表了复数正弦波的离散频率，这些频率是一个基本频率的整数倍，因此它们彼此正交。$

从上面找到的 $个离散频率中，我们可以构造一个离散频率轴，其成员如下：$

$$0, \frac{1}{N}, \dots, \frac{N-1}{N}$$

它们完全相同：

$$-1, -1+\frac{1}{N}, \dots, -\frac{1}{N}$$

由于它们的周期性。然而，由于采样定理，我们选择了以 0 为中心的坐标轴。第 1.5 节中的公式 (1.36) 表明，在对信号进行采样后，连续频率 $的唯一范围是：$

$−0.5Fs≤F<+0.5Fs-0.5F_s \leq F < +0.5F_s$

$$-0.5 \leq \frac{F}{F_s} < +0.5 \tag{1.48}$$

由于存在 $NN 个离散频率，−0.5≤FFs<+0.5-0.5 \leq \frac{F}{F_s} < +0.5$

$$-0.5, -0.5+\frac{1}{N}, \dots, -\frac{1}{N}, 0, \frac{1}{N}, \dots, +0.5-\frac{1}{N} \tag{1.49}$$

以获得离散频率轴。显然，离散频率分辨率是 $。因此，离散频率基本上是基带中在个等间隔频率点上采样的频谱内容（术语 +0.5 是由于坐标轴的周期性，实际上是 -0.5）。$

公式 (1.49) 也可以写成：

$$-\frac{N/2}{N}, -\frac{N/2-1}{N}, \dots, -\frac{1}{N}, 0, \frac{1}{N}, \dots, \frac{N/2-1}{N} \tag{1.50}$$

因此，离散频率轴的索引 $给出为$

$$k = -\frac{N}{2}, -\frac{N}{2}+1, \dots, -1, 0, 1, \dots, \frac{N}{2}-1$$$$\frac{k}{N} = -0.5, -0.5+\frac{1}{N}, \dots, 0, \frac{1}{N}, \dots, +0.5-\frac{1}{N}$$

这是在图 1.47 中绘制的。将上述公式与公式 (1.48) 进行比较，我们得出了离散频率 $与连续频率之间的关系为：$

$$\frac{k}{N} = \frac{F}{F_s} \tag{1.51}$$

公式 (1.51) 中离散频率 $的单位是：$

$$\text{周期/秒} \div \text{样本/秒} = \text{周期/样本}$$

注释 1.8 离散频率轴

公式 (1.51) 是数字信号处理中两个最基本的关系之一，另一个是采样定理公式 (1.37)。这些是连续和离散世界之间的两个接口。

在频率域中，作为存储在处理器存储器中的一系列数字。

如果对连续和离散频率域有疑问，请参考公式 (1.51)！

图 1.47：在频域中对轴进行采样

如果已知离散频率 $kN\frac{k}{N}$

$$F = F_S \cdot \frac{k}{N}$$

例如，设 $F_S = 3$

当 $时，$
当 $时，$
当 $时，$

因此，每个 $都称为频率桶（frequency bin），而值决定了输入样本的数量和离散频率域的分辨率。理解公式 (1.37) 和公式 (1.51) 将使进一步的概念更容易掌握。$

总之，唯一离散频率 $kN\frac{k}{N}$

$$-0.5 \leq \frac{k}{N} < +0.5 \tag{1.52}$$

这一组复数正弦波在图 1.48 中绘制，突出显示了离散频率索引 $kk 的旋转方向。负 kk 的索引表示顺时针旋转方向，而正 kk 的索引表示逆时针旋转方向。请注意，当 kN\frac{k}{N}$

图 1.48：绘制的复数正弦波，用于突出显示左侧的离散频率轴

有些人更习惯于使用二维图形而不是三维图形。因此，这组包含 I 和 Q 分量的复数正弦波在图 1.49 中显示，设 $。$

以下是该图中的一些关键观察：

对于 $，I 正弦波为 1，因为$
与 $类似，I 和 Q 波形$
对于负值的 $，I 正弦波保持不变，而 Q 正弦波则改变符号。在复数正弦波的上下文中，这与顺时针旋转的负频率定义相符。$
最后，要理解离散频率“周期/样本”的单位含义，请考虑图中 $的情况。注意对于，离散频率等于$

图 1.49：N = 8 个复正弦波，其频率在离散频率轴上形成“刻度”

示例 1.4

考虑一个信号

$$s(t) = 2\cos(2\pi 1000t) + 7\sin(2\pi 3000t) + 3\cos(2\pi 6000t)$$

很明显，该信号中存在的连续频率为 $F1=1kHzF_1 = 1 \text{kHz}$

现在假设该信号以 $Fs=5kHzF_s = 5 \text{kHz}$

$$s[n] = s(t) |_{t=nT_s} = s \left(\frac{n}{F_s}\right) = 2\cos 2\pi \frac{1}{5} n + 7\sin 2\pi \frac{3}{5} n + 3\cos 2\pi \frac{6}{5} n = 2\cos 2\pi \frac{1}{5} n + 7\sin 2\pi \left(1 - \frac{2}{5}\right) n + 3\cos 2\pi \left(1 + \frac{1}{5}\right) n$$

其中的调整是为了将所有离散频率限制在 $到 0.5 之间。接下来，$

$$s[n] = 2\cos 2\pi \frac{1}{5} n + 7\sin 2\pi \left(-\frac{2}{5}\right) n + 3\cos 2\pi \left(\frac{1}{5}\right) n = 5\cos 2\pi \frac{1}{5} n - 7\sin 2\pi \frac{2}{5} n$$

如果将该信号在连续时间域中重建，则存在的频率为 $和。从等式(1.51)可以看出，它们作为连续频率出现在$