67、离散滤波器设计：切比雪夫滤波器与频率变换

离散滤波器设计：切比雪夫滤波器与频率变换

在信号处理领域，离散滤波器的设计至关重要。本文将深入探讨切比雪夫低通离散滤波器的设计方法，以及不同类型的频率变换，同时介绍如何使用MATLAB进行通用IIR滤波器的设计。

1. 切比雪夫低通离散滤波器设计

切比雪夫低通离散滤波器的设计涉及多个关键参数的计算。

1.1 双线性变换常数 $K_c$

双线性变换常数 $K_c$ 通过将归一化通带频率 $\omega’_p = 1$ 转换为离散频率 $\omega_p$ 来计算：
[K_c = \frac{1}{\tan(0.5\omega_p)}]

1.2 频率关系

双线性变换中频率的关系为：
[\frac{\Omega}{\Omega_p} = \frac{\tan(0.5\omega)}{\tan(0.5\omega_p)}]

1.3 幅度平方函数

离散切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数为：
[|H_N(e^{j\omega})|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon^2C_N^2(\tan(0.5\omega)/\tan(0.5\omega_p))}]
其中，$C(.)$ 是之前在模拟设计中遇到的第一类切比雪夫多项式，波纹参数 $\varepsilon$ 与模拟设计中相同：
[\varepsilon = (10^{0.1\alpha_{max}} - 1)^{1/2}]

1.4 滤波器阶数和半功率频率

滤波器的阶数 $N$ 和半功率频率 $\omega_{hp}$ 可以