7、离散时间傅里叶分析：LTI系统频域表示与信号采样重建

离散时间傅里叶分析：LTI系统频域表示与信号采样重建

1. LTI系统的频域表示

1.1 对复指数信号的响应

对于输入为复指数信号 (x(n) = e^{j\omega_0n}) 的线性时不变（LTI）系统，其冲激响应为 (h(n))，输出 (y(n)) 可表示为：
[y(n) = h(n) * e^{j\omega_0n} = \sum_{k = -\infty}^{\infty} h(k)e^{j\omega_0(n - k)} = \left[\sum_{k = -\infty}^{\infty} h(k)e^{-j\omega_0k}\right]e^{j\omega_0n}]
这里，冲激响应 (h(n)) 的离散时间傅里叶变换被定义为系统的频率响应 (H(e^{j\omega}))，即：
[H(e^{j\omega}) \triangleq \sum_{n = -\infty}^{\infty} h(n)e^{-j\omega n}]
因此，系统可表示为 (x(n) = e^{j\omega_0n} \to H(e^{j\omega}) \to y(n) = H(e^{j\omega_0}) \times e^{j\omega_0n})。这表明输出序列是输入指数序列乘以系统在频率 (\omega_0) 处的响应。

1.2 对正弦序列的响应

当输入为正弦序列 (x(n) = A\cos(\omega_0n + \theta_0)) 时，系统的稳态响应 (y_{ss}(n)) 为：
[y_{ss}(n) = A|H(e^{j\omega_0})|\cos(\omega_0n + \theta_0