复数的处理

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复数的处理

复数 $定义为在 -平面中实数对的有序集合。在这方面，复数可以被视为原点上的向量。从这个角度看，复数的加法类似于 -平面中向量的加法。$

然而，乘法对于复数是良好定义的，而对于向量则不是——两个向量的点积是标量，而不是向量，而两个向量在平面上的叉积是一个在该平面之外的向量。另一方面，复数的乘积是一个复数——这是一个非常有用的性质。

复平面上 $或实轴表示为（表示同相），或虚轴表示为（表示正交），如图1.21所示。$

复数 $在此平面中，其和分别是它的和分量。根据图1.21，我们有：$

$VI=∣V∣cos⁡∠VV_I = |V| \cos \angle V$

$VQ=∣V∣sin⁡∠VV_Q = |V| \sin \angle V$

图1.21：在 $平面中的复数$

其中 $∣V∣|V| 和 ∠V\angle V 分别是 VV 相对于 II 轴的大小和角度。$

幅度和相位

在复数的极坐标表示中， $平面中复数的幅度定义如方程所示为：$

$\sqrt{V_I^2 + V_Q^2}$

我们使用了性质 $cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

$$\tan^{-1}\left(\frac{+V_Q}{+V_I}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-V_Q}{-V_I}\right) \rightarrow \text{在}[0, +\pi/2]，象限I$$$$\tan^{-1}\left(\frac{-V_Q}{+V_I}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{+V_Q}{-V_I}\right) \rightarrow \text{在}[0, -\pi/2]，象限IV$$

我们无法区分 $VV 位于象限I还是象限III。同样，VV 位于象限II还是象限IV也无法区分。另一方面，图1.21告诉我们，VV 可以位于任何象限，并且其相位应位于 [−π,π][- \pi, \pi] 范围内，如下所述：$

象限I： $∠V\angle V$
象限II： $∠V\angle V$
象限III： $∠V\angle V$
象限 IV： $∠V\angle V$

同样，从图1.22中可以看出：

情况 1：当 $V_I < 0$
情况 2：当 $V_I = 0$
情况 3：当 $V_I = 0$

图1.22： $tan^{-1}(·)$

考虑到所有四个象限， $∠V\angle V$

$$\angle V = \begin{cases} \tan^{-1}\left(\frac{V_Q}{V_I}\right) & V_I > 0 \\ \tan^{-1}\left(\frac{V_Q}{V_I}\right) + \pi & V_I < 0 \text{ 且 } V_Q \geq 0 \\ \tan^{-1}\left(\frac{V_Q}{V_I}\right) - \pi & V_I < 0 \text{ 且 } V_Q < 0 \\ +\pi/2 & V_I = 0 \text{ 且 } V_Q > 0 \\ -\pi/2 & V_I = 0 \text{ 且 } V_Q < 0 \\ \end{cases}$$

加法和乘法运算

加法：

$\rightarrow W_I = U_I + V_I$

$\rightarrow W_Q = U_Q + V_Q$

注意，复数加法实际上包含两个实数加法，分别对应 $和，如图1.23所示。$

图 1.23：一次复数相加会产生两个实数相加，分别用于 $和。此外，一次复数相乘会产生4次实数相乘和2次实数相加。$

乘法: $意味着$

$\cdot |V|$

$∠W=∠U+∠V\angle W = \angle U + \angle V$

（物理意义可以理解为旋转）

在 IQ 形式中导致

$$\begin{aligned} I \rightarrow & \quad W_I = U_I V_I - U_Q V_Q \\ Q \rightarrow & \quad W_Q = U_Q V_I + U_I V_Q \\ \end{aligned}$$

复数乘法规则可以写成：

复数乘法：

$$\begin{aligned} I: & \quad I \cdot I - Q \cdot Q \\ Q: & \quad I \cdot Q + I \cdot Q \\ \end{aligned}$$

上面的加法规则非常合理：I 分量都加在一起以及两个 $QQ 分量。在公式中的乘法规则看起来有点奇怪：II 是两个对齐轴项的乘积之差（即 I⋅I−Q⋅QI \cdot I - Q \cdot Q$

为了理解复数相乘是如何合理的，请考虑

$UI=∣U∣cos⁡ΔU和UQ=∣U∣sin⁡ΔUU_I = |U| \cos \Delta U \quad \text{和} \quad U_Q = |U| \sin \Delta U$

$VI=∣V∣cos⁡ΔV和VQ=∣V∣sin⁡ΔVV_I = |V| \cos \Delta V \quad \text{和} \quad V_Q = |V| \sin \Delta V$

将这些值代入公式中，

$$\begin{aligned} I &\rightarrow W_I = |U| \cos \Delta U \cdot |V| \cos \Delta V - |U| \sin \Delta U \cdot |V| \sin \Delta V \\ Q &\rightarrow W_Q = |U| \sin \Delta U \cdot |V| \cos \Delta V + |U| \cos \Delta U \cdot |V| \sin \Delta V \\ \end{aligned}$$

这导致

$$\begin{aligned} I &\rightarrow W_I = |U||V|(\cos \Delta U \cdot \cos \Delta V - \sin \Delta U \cdot \sin \Delta V) \\ Q &\rightarrow W_Q = |U||V|(\sin \Delta U \cdot \cos \Delta V + \cos \Delta U \cdot \sin \Delta V) \\ \end{aligned}$$

使用恒等式 $cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B)$

$$\begin{aligned} I &\rightarrow W_I = |U||V| \cos(\Delta U + \Delta V) \\ Q &\rightarrow W_Q = |U||V| \sin(\Delta U + \Delta V) \\ \end{aligned}$$

这与公式等价。因此，复数的乘法就是将它们的模数相乘并将它们的相位相加。

（学习过复数的直接忽略就行）

将复数提升到次幂

公式 (1.11) 中复数乘法定义的另一个结果是，将复数 $提升到一个幂次，例如 2，生成$

$$\begin{aligned} |W| &= |V| \cdot |V| = |V|^2 \\ \angle W &= \angle V + \angle V = 2 \cdot \angle V \end{aligned}$$

对于一般的幂 $，$

$$\begin{aligned} |W| &= |V|^M \\ \angle W &= M \cdot \angle V \\ \end{aligned}$$

（公式1.15）

我们可以得出结论，在 IQ 平面中，将复数提升到某个幂次会提高它的模数到该幂次，同时将相位乘以该幂次。

相位旋转

在 IQ 平面中，通过相位 $θ\theta$

首先，我们将复数 $VV 乘以模数为 1 且相位为 θ\theta 的复数 UU。使用 ∣U∣=1|U| = 1$

$UI=cos⁡θ和UQ=sin⁡θU_I = \cos \theta \quad \text{和} \quad U_Q = \sin \theta$

图1.24：旋转意味着在不改变幅度的情况下，将 $θ\theta$

将复数的乘法规则（公式1.13）代入，

$\rightarrow W_I = V_I \cdot \cos \theta - V_Q \cdot \sin \theta \quad (1.16)$

$\rightarrow W_Q = V_Q \cdot \cos \theta + V_I \cdot \sin \theta$

使用 $VI=∣V∣cos⁡ΔVV_I = |V| \cos \Delta V$

$\rightarrow W_I = |V|(\cos \Delta V \cdot \cos \theta - \sin \Delta V \cdot \sin \theta)$

$\rightarrow W_Q = |V|(\sin \Delta V \cdot \cos \theta + \cos \Delta V \cdot \sin \theta)$

再次使用恒等式 $cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B)$

$\rightarrow W_I = |V| \cos (\Delta V + \theta)$

$\rightarrow W_Q = |V| \sin (\Delta V + \theta) \quad (1.17)$

这保持了幅度不变，并将角度 $θ\theta$

从公式 (1.16) 和公式 (1.17) 可以推导出相位旋转的快速规则。对于复数 $VV 和角度 +θ+\theta（即逆时针旋转），相位旋转规则规定：$

逆时针旋转 $θ\theta$ ≡

$\cdot \cos \theta - Q \cdot \sin \theta \quad \text{(1.18)}$

$\cdot \cos \theta + I \cdot \sin \theta$

这被认为与乘法规则 $\cdot I - Q \cdot Q$

顺时针旋转 $θ\theta$ ≡

$\cdot \cos \theta + Q \cdot \sin \theta \quad \text{(1.19)}$

$\cdot \cos \theta - I \cdot \sin \theta$

上面的相位旋转规则很重要，因为我们在这篇文章中没有使用复数符号。这意味着我们可以快速地识别出一个方程是否通过某个角度旋转了一个复数。上面的两个方程有助于实现这一目的，我们将在后面看到它的许多应用，例如在载波相位同步期间。

复共轭

复数 $V^*$

$\quad \rightarrow \quad \{V^*\}_I = V_I$

由于幅度是 $和分量平方和的结果，因此它保持不变。另一方面，除以是相位，因此共轭导致相位符号的改变。因此，复数共轭的另一种定义是：$

$V^*| = |V|$

复数共轭的一个重要意义在于，将复数乘以其复共轭可以抵消相位并产生其幅度平方。利用上述关系，在方程(1.11)的乘法规则中可以得出：

$\cdot V^*| = |V|^2 = V_I^2 + V_Q^2$

定义信号共轭的另一个有趣的结果是以下恒等式集：

$\quad \rightarrow \quad \{V + V^*\} = V_I + V_I$

从而生成以下重要结果：

$\quad \rightarrow \quad V_I = \frac{1}{2}\{V + V^*\}$

同样，

$\quad \rightarrow \quad 0 = \frac{1}{2}\{V - V^*\}$

复数的处理

复数的处理

幅度和相位

加法和乘法运算

将复数提升到 MMM 次幂

相位旋转

复共轭

将复数提升到次幂