信号的变换

信号的变换

在实践中，缩放和时间平移是遇到的两个最重要的信号变换。缩放改变了振幅轴上的因变量的值，而时间平移则影响了时间轴上的自变量的值。

加法

对于两个离散时间信号的加法，例如 x[n]x[n]x[n] 和 y[n]y[n]y[n]，逐样本相加这两个信号的每个值：

z[n]=x[n]+y[n]对所有 n 适用z[n] = x[n] + y[n] \quad \text{对所有} \ n \ 适用z[n]=x[n]+y[n]对所有 n 适用

例如：

z[0]=x[0]+y[0]z[0] = x[0] + y[0]z[0]=x[0]+y[0]

z[1]=x[1]+y[1]z[1] = x[1] + y[1]z[1]=x[1]+y[1]

以此类推。

乘法

对于乘法，像我们在加法中所做的那样，将两个信号逐样本相乘：
​z[n]=x[n]⋅y[n]z[n] = x[n] \cdot y[n]z[n]=x[n]⋅y[n] 对于每一个 nnn，

例如：

z[0]=x[0]⋅y[0]z[0] = x[0] \cdot y[0]z[0]=x[0]⋅y[0]

z[1]=x[1]⋅y[1]z[1] = x[1] \cdot y[1]z[1]=x[1]⋅y[1]

...等等。

Tips：加法乘法最容易理解。

缩放

缩放意味着将信号的幅度乘以一个常数 α\alphaα，得到 α⋅s[n]\alpha \cdot s[n]α⋅s[n]，其中 α\alphaα 可以是正数、负数、大于或小于1的数。例如，图1.13显示了信号 s[n]s[n]s[n] 缩放了4倍（比较两个信号在y轴上的幅度）。需要注意的是，缩放时，整个信号都会被相同的值缩放，因此缩放与两个信号逐样本相乘不同。

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图 将s[n]放大四倍

接下来上难度：

时间平移

信号 s[n]s[n]s[n] 可以向右或向左移动任意 mmm 个单位。有两种方式来理解时间平移信号。

常规方法 - 平移信号

平移离散时间信号通常描述如下：

延迟： 对于 s[n−m]s[n - m]s[n−m]，时间平移会导致 s[n]s[n]s[n] 延迟 mmm 个时间单位。所以通过将 s[n]s[n]s[n] 向右平移 mmm 个单位来绘制 s[n−2]s[n - 2]s[n−2]（图a）。

提前： 对于 s[n+m]s[n + m]s[n+m]，时间平移会导致 s[n]s[n]s[n] 提前 mmm 个时间单位。所以通过将 s[n]s[n]s[n] 向左平移 mmm 个单位来绘制 s[n+2]s[n + 2]s[n+2]（图a）。

这很容易记住：将时间平移写作 n−mn - mn−m。向右平移 s[n−m]s[n - m]s[n−m]，向左平移 s[n+m]s[n + m]s[n+m]。

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图 ：两种观察时间平移信号的方法

直观方法 - 平移坐标轴

在信号处理应用中，“此刻”是时间索引 0，我们希望将其作为信号生命的主要焦点，如图所示。从这个角度看：

延迟： 对于 s[n−m]s[n - m]s[n−m]，n−mn - mn−m 显然意味着向过去移动 mmm 个单位。因此，通过回溯 2 个单位并将其设为新的“此刻”，即时间索引 0，来绘制 s[n−2]s[n - 2]s[n−2]（图b）。

提前： 对于 s[n+m]s[n + m]s[n+m]，n+mn + mn+m 显然意味着向未来前进 mmm 个单位。因此，通过向未来移动 2 个单位并将其设为新的“此刻”，即时间索引 0，来绘制 s[n+2]s[n + 2]s[n+2]（图b）。

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图 1.15：信号的过去、现在和未来

换句话说，只需观察时间轴本身。保持离散时间信号不变，但将时间索引 0 移动 mmm 个单位到左侧，对应 n−mn - mn−m，并将 mmm 个单位移动到右侧，对应 n+mn + mn+m，如图 b 所示。注意，s[n+2]s[n+2]s[n+2] 的索引 0 与 s[n]s[n]s[n] 的索引 2 位于同一采样点，表示访问未来值。虽然这仅仅是观察过程的不同方式，但这是一种更简单、更直观的方法。这种方法对于卷积的理解会非常有用。

注释 1.2 时间平移信号的叠加

理解时间平移信号可以轻松分析看似复杂的方程式，例如：

r[n]=∑m=−12s[n−m]r[n] = \sum_{m=-1}^{2} s[n-m]r[n]=∑m=−12​s[n−m]

这基本上是将 s[n−m]s[n-m]s[n−m] 在 m=−1,0,1,2m = -1, 0, 1, 2m=−1,0,1,2 的情况下叠加在一起。我们可以通过替换 mmm 的值将其简化为更易识别的形式：

r[n]=s[n+1]+s[n]+s[n−1]+s[n−2]r[n] = s[n+1] + s[n] + s[n-1] + s[n-2]r[n]=s[n+1]+s[n]+s[n−1]+s[n−2]

现在，我们可以轻松绘制 s[n]s[n]s[n] 的时间平移版本，并将它们叠加在一起，找到最终的信号。例如，图显示了单位脉冲信号 δ[n]\delta[n]δ[n] 及其时间平移版本。

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图 ：计算 r[n]=∑m=−12s[n−m]r[n] = \sum_{m=-1}^{2} s[n-m]r[n]=∑m=−12​s[n−m] 对于 s[n]=δ[n]s[n] = \delta[n]s[n]=δ[n]

翻转或时间反转

当自变量 nnn 被替换为 −n-n−n 时，信号会围绕时间原点 n=0n = 0n=0 反射或翻转，因为 n=+1n = +1n=+1 处的采样点会移到 n=−1n = -1n=−1 处，n=−5n = -5n=−5 处的采样点会移到 n=+5n = +5n=+5 处，依此类推。通过绘制 s[−n]s[-n]s[−n] 和 s[−n+3]s[-n+3]s[−n+3] 来说明这一概念。

注意，由于时间轴 −n-n−n 的翻转，向左或向右平移的规则也会变得相反。例如，从直观方法来看，时间轴 nnn 被替换为 −n-n−n 表示过去变成未来，因此，s[−n+3]s[-n+3]s[−n+3] 首先将信号围绕时间原点翻转，然后向左移动 3 个单位至过去，将其标记为新的“现在”（时间索引 0）。

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图 1.17：翻转和时间移位信号

循环移位

循环移位与信号的时间移位非常相似，不同之处在于只关注一个长度为 NNN 的采样段进行循环移位，而常规时间移位的可用轴范围是从 −∞-\infty−∞ 到 +∞+\infty+∞。

如果一个信号 s[n]s[n]s[n] 向右循环移位 mmm 个单位，那么那些从长度为 NNN 的段右侧“掉下去”的信号 s[n]s[n]s[n] 的采样点会重新出现在段的起始位置。同样，如果 s[n]s[n]s[n] 向左循环移位 mmm 个单位，那么从长度为 NNN 的段左侧“掉下去”的信号 s[n]s[n]s[n] 的采样点会重新出现在段的末尾。就像视频游戏中的角色一样，它在屏幕的一端消失后会从另一端重新出现。图显示了一个向右循环移位的例子。

方法 1

由于循环移位是针对长度为 NNN 的段进行的，因此移位是按模 NNN 计算的，并表示为 s[(n−m)mod  N]s[(n-m) \mod N]s[(n−m)modN]，其中 (n−m)mod  N(n-m) \mod N(n−m)modN 表示进行移位。

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图 ：在游戏轴上吃豆人向右循环移位

• 信号 s[(n−1)mod  8]s[(n-1) \mod 8]s[(n−1)mod8] 对每个样本右移1位，除了时间索引7的样本。这个样本不会移到索引8，而是从左侧回到索引0。
• 同样地，信号 s[(n+3)mod  8]s[(n+3) \mod 8]s[(n+3)mod8] 对大多数样本左移3位，除了时间索引0、1和2的样本。它们不会移动到负时间索引，而是从右侧回到索引5、6和7。

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图 ：信号 s[(n−m)mod  8]s[(n-m) \mod 8]s[(n−m)mod8] 的循环移位

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方法 2

首先，观察图中的绿色虚线样本。请注意，信号 s[n]s[n]s[n] 在两侧重复以使其成为周期性的，这样原始索引为 n=5n=5n=5, 666 和 777 的样本会出现在索引 n=0n=0n=0 之前，而原始索引为 n=0n=0n=0 和 111 的样本会出现在 n=7n=7n=7 之后。在这种情况下，循环移位就像常规移位一样。将上图的信号按1位右移，即 s[n−1]s[n-1]s[n−1]，可以看到结果是图中间显示的 s[(n−1)mod  8]s[(n-1) \mod 8]s[(n−1)mod8]。

循环翻转

在这个阶段，一个有趣的问题是：循环翻转信号 s[(−n)mod  N]s[(-n) \mod N]s[(−n)modN] 的结果是什么？

循环移位的逻辑保持不变。与常规翻转一样，索引为0的样本保持不变。根据上面方法1，索引7的样本应位于 −7-7−7 处，但循环表示法中没有负索引，因此 (−7)mod  8=−7+8=1(-7) \mod 8 = -7 + 8 = 1(−7)mod8=−7+8=1，这使其移至索引1。图显示了相同信号 s[(−n)mod  N]=s[−n+N]s[(-n) \mod N] = s[-n+N]s[(−n)modN]=s[−n+N] 的结果。

根据方法2，并考虑图中的绿色虚线样本，常规翻转意味着索引0左侧的三个样本现在出现在图中索引0右侧。

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图 循环翻转

Tips：离散傅里叶变换打基础，要花时间去理解。