频率的概念

频率的概念

1.4 频率的概念

无线信号从一个设备传输到另一个设备是通过天线传播的电磁波完成的。电磁波具有不同的频率，人们可以通过将无线电接收机调整到特定频率来接收特定的信号。但频率到底是什么呢？

复正弦波

想象 VVV 以恒定速率逆时针方向围绕一个圆旋转，随着时间的推移，如图1.25所示。

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图1.25：复正弦波 VVV 在时间 IQIQIQ 平面中旋转，生成一个螺旋，并投射出两个实数正弦波：在I轴上的 cos⁡2πFt\cos 2\pi Ftcos2πFt 和在Q轴上的 sin⁡2πFt\sin 2\pi Ftsin2πFt。

• 用 VVV 代替复数，现在 V(t)V(t)V(t) 可以作为独立变量随时间变化的信号，将其称为复正弦波。

• 恒定速率意味着在任何给定的时间间隔 Δt\Delta tΔt 内，相位变化 Δθ\Delta \thetaΔθ 是恒定的。这个常数被称为角速度，并被定义为这个复正弦波相位变化的速率，就像速度是位移变化的速率一样。

• 这个角速度导致 V(t)V(t)V(t) 在时间 IQIQIQ 平面中旋转并生成螺旋状，如图1.25所示。

• 复正弦波的频率定义为该角速度除以 2π2\pi2π 后的结果，以便单位为每秒循环次数而不是每秒弧度数。

F=12π⋅ΔθΔtF = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t}F=2π1​⋅ΔtΔθ​

从三维平面投影到由时间轴和I轴组成的二维平面时，得到I部分 VI(t)=cos⁡2πFtV_I(t) = \cos 2\pi FtVI​(t)=cos2πFt。类似地，当投影在由时间轴和Q轴组成的二维平面上时，它生成了Q部分 VQ(t)=sin⁡2πFtV_Q(t) = \sin 2\pi FtVQ​(t)=sin2πFt。随机选择 cos⁡(⋅)\cos(\cdot)cos(⋅) 作为参考正弦波，I分量称为 同相，因为它与 cos⁡(⋅)\cos(\cdot)cos(⋅) 同相，而Q分量称为 正交，因为 sin⁡(⋅)\sin(\cdot)sin(⋅) 与 cos⁡(⋅)\cos(\cdot)cos(⋅) 正交，即与 cos⁡(⋅)\cos(\cdot)cos(⋅) 相差90度。

综上所述，具有频率 FFF 的复正弦波由两个实数正弦波组成：

I→VI(t)=cos⁡2πFtI \rightarrow V_I(t) = \cos 2\pi FtI→VI​(t)=cos2πFt

Q↑VQ(t)=sin⁡2πFtQ \uparrow V_Q(t) = \sin 2\pi FtQ↑VQ​(t)=sin2πFt

其中，FFF 是以每秒循环次数（赫兹Hz）为单位的连续频率。对于逆时针旋转方向，方向被认为是正的，对于顺时针旋转方向，方向被认为是负的。

振幅 AAA 和相位 θ\thetaθ 是表征正弦信号的其他两个参数，其中 AAA 决定了正弦波的最大振幅，θ\thetaθ 决定了 V(t)V(t)V(t) 在 t=0t = 0t=0 时的初始角偏移。

注释 1.4 正弦参数

记住每当你听到“频率”这个词时，它指的是正弦波 Acos⁡(2πFt+θ)A \cos(2\pi Ft + \theta)Acos(2πFt+θ) 或 Asin⁡(2πFt+θ)A \sin(2\pi Ft + \theta)Asin(2πFt+θ) 的频率。表征正弦波的三个参数是：

1. 频率 FFF
2. 相位 θ\thetaθ
3. 振幅 AAA

显然，如果复正弦波 V(t)V(t)V(t) 以频率 FFF 旋转，它每秒完成 FFF 个循环。换句话说，完成每个循环需要 1/F1/F1/F 秒，这个时间被称为周期 TTT。因此，频率 FFF 与时间周期 TTT 相关，如下：

F=1TF = \frac{1}{T}F=T1​

连续频率值的范围是：

−∞<F<∞-\infty < F < \infty−∞<F<∞

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图 1.26：复数正弦波类似于螺旋弹簧和圆形楼梯

什么是负频率？

频率通常定义为正弦波周期的倒数 F=1/TF = 1/TF=1/T。自然地，负频率作为倒数周期的概念难以想象。通过定义复数正弦波 V(t)V(t)V(t) 的逆时针方向的旋转速度来理解，如图1.25所示，很明显负频率仅仅意味着 V(t)V(t)V(t) 顺时针方向的旋转。例如，复数正弦波：

I→cos⁡2π(−F)t=cos⁡2πFtI \rightarrow \cos 2\pi(-F)t = \cos 2\pi FtI→cos2π(−F)t=cos2πFt

Q↑sin⁡2π(−F)t=−sin⁡2πFtQ \uparrow \sin 2\pi(-F)t = -\sin 2\pi FtQ↑sin2π(−F)t=−sin2πFt

负频率是一个现实存在的概念，就像负数一样。 也请注意，根据复共轭的定义，我们可以说 V(t)V(t)V(t) 是一个频率为 FFF 的复正弦波，而 V∗(t)V^*(t)V∗(t) 是一个频率为 −F-F−F 的复正弦波。

一个实正弦波

一个在 IQ 平面上旋转的复正弦波会生成两个实正弦波。一个实正弦波可以通过两个在相反方向旋转的复正弦波生成：一个频率为 FFF 的 V(t)V(t)V(t) 和一个频率为 −F-F−F 的 V∗(t)V^*(t)V∗(t)。

图 1.27 绘制了两个复正弦波，V(t)V(t)V(t) 的频率为 FFF，以实线蓝色表示，而 V∗(t)V^*(t)V∗(t) 的频率为 −F-F−F，以虚线红色表示。它们的 I 和 Q 分量分别以实线蓝色和虚线红色绘制。请注意：

• I 分量完全重叠，因此相同，都是 cos⁡2πFt\cos 2\pi Ftcos2πFt，
• 而 Q 分量则具有完全相同的幅度但符号相反，因此分别为 sin⁡2πFt\sin 2\pi Ftsin2πFt 和 −sin⁡2πFt-\sin 2\pi Ft−sin2πFt。

因此，当这两个复正弦波相加时，I 分量逐点相加，而 Q 分量则因相互抵消而消失。

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图 1.27：两个在时间 IQ 平面上旋转的复正弦波 V(t)V(t)V(t) 和 V∗(t)V^*(t)V∗(t)

这种加法是我们从之前的方程 (1.23) 得到的结果的图示表示，如下所示。

I→cos⁡2πFt=12{V(t)+V∗(t)}I \rightarrow \cos 2\pi Ft = \frac{1}{2} \left\{V(t) + V^*(t)\right\}I→cos2πFt=21​{V(t)+V∗(t)}

Q↑0=12{V(t)+V∗(t)}(1.27)Q \uparrow 0 = \frac{1}{2} \left\{V(t) + V^*(t)\right\} \quad (1.27)Q↑0=21​{V(t)+V∗(t)}(1.27)

这幅图也是通过减去两个复正弦波（如方程 (1.24) 中所做的）构建的正弦波的图示表示。

I→0=12{V(t)−V∗(t)}I \rightarrow 0 = \frac{1}{2} \left\{V(t) - V^*(t)\right\}I→0=21​{V(t)−V∗(t)}

Q↑sin⁡2πFt=12{V(t)−V∗(t)}(1.28)Q \uparrow \sin 2\pi Ft = \frac{1}{2} \left\{V(t) - V^*(t)\right\} \quad (1.28)Q↑sin2πFt=21​{V(t)−V∗(t)}(1.28)

这有点类似于 DNA 分子中的双螺旋结构，它携带着我们发展的遗传信息，如图 1.28 所示。

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图 1.28：DNA 双螺旋结构

频域

频率是复正弦波在 IQ 平面上随时间旋转的速率，见图 1.25。显然，这种旋转速率可以从非常慢（接近 0）到尽可能快（接近 +∞）变化。此外，顺时针方向的旋转意味着负频率，因此复正弦波的频率范围从 −∞-\infty−∞ 到 +∞+\infty+∞。当信号或函数在频域中绘制时，图表实际上显示了该信号中存在的复正弦波的 I 和 Q 分量。

复正弦波：由于一个复正弦波具有单一频率，因此在频率 IQ 平面上的图示中，它作为单一窄脉冲绘制在图 1.29 中。如果旋转方向是逆时针方向，则脉冲在 +F+F+F 处；如果旋转方向是顺时针方向，则脉冲在 −F-F−F 处。由于在时域中的顺时针旋转，图中的脉冲位于 −F-F−F 处。

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图 1.29：在频域中复正弦波的表示。负频率值意味着顺时针旋转。

实数余弦：根据方程 (1.27) ，余弦波的频域表示应该是两个脉冲，一个是由于 V(t)V(t)V(t) 在频率 +F+F+F 处，另一个是由于 V∗(t)V^*(t)V∗(t) 在频率 −F-F−F 处。这在图 1.30 中有所说明。

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图 1.30：时间 IQ 平面和频率 IQ 平面中的余弦波。

实数正弦：正弦波的情况稍微复杂一些。对于两个复正弦波的相减，从具有图示表示的方程 (1.28) 开始，如图 1.27 所示。结果应该是两个脉冲，一个在频率 +F+F+F 处由 V(t)V(t)V(t) 贡献，另一个在频率 −F-F−F 处由 V∗(t)V^*(t)V∗(t) 贡献。然而，V∗(t)V^*(t)V∗(t) 的符号是负的，如方程 (1.28) 所示，并在图 1.31 中说明。因此，请注意正弦波存在于时间 Q 轴上。

到将图 1.31 中的时间波形顺时针旋转 90°，可以将正弦波放置在时间 I 轴上。这将相应地旋转将频率表示顺时针旋转 90°。通过此步骤，时间 I 轴上正弦波的频域表示如图 1.32 所示。

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图 1.31：在时间 IQ 平面和频率 IQ 平面中的正弦波，位于时间 Q 轴上。

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图 1.32：在时间 IQ 平面和频率 IQ 平面中的正弦波，位于时间 I 轴上。

同相分量意味着信号与 cos⁡(⋅)\cos(\cdot)cos(⋅) 同相位。根据恒等式 cos⁡(A−90°)=sin⁡(A)\cos(A - 90°) = \sin(A)cos(A−90°)=sin(A)，我们可以看到为何正弦波在频域中表现为 −90°-90°−90° 相位旋转！

在上述讨论中，复正弦波在频域中由单个脉冲表示。两个复正弦波在时间（因此在频域中为两个脉冲）中结合形成一个实正弦波。在频域中，我们实际上通过长度绘制幅度，通过方向绘制这些复正弦波的相位。

类似的情况也适用于由多个复正弦波组成的信号。这些复正弦波形式了信号构造的基本单位，无论信号形状如何，每个频率轴上的“刻度”代表了参与其中的复正弦波的频率。当越来越多的复正弦波结合在一起时，它们在频域中形成一个连续的光谱图。

此时产生了一个自然的问题：如果信号包含除了这些美观的正弦波之外的分量怎么办？答案令人惊讶：几乎没有！很久以前，科学家们就发现大多数实际关注的信号可以被视为无数正弦波的总和——可能是无限的——这些正弦波在不同频率下振荡，无论信号形状如何。因此，任意信号 s(t)s(t)s(t) 可以写成如下形式：

s(t)=a0sin⁡(2πF0t)+a1sin⁡(2πF1t)+a2sin⁡(2πF2t)+…s(t) = a_0 \sin(2\pi F_0 t) + a_1 \sin(2\pi F_1 t) + a_2 \sin(2\pi F_2 t) + \dotss(t)=a0​sin(2πF0​t)+a1​sin(2πF1​t)+a2​sin(2πF2​t)+…

=a0sin⁡(2π1T0t)+a1sin⁡(2π1T1t)+a2sin⁡(2π1T2t)+…= a_0 \sin\left(2\pi \frac{1}{T_0} t\right) + a_1 \sin\left(2\pi \frac{1}{T_1} t\right) + a_2 \sin\left(2\pi \frac{1}{T_2} t\right) + \dots=a0​sin(2πT0​1​t)+a1​sin(2πT1​1​t)+a2​sin(2πT2​1​t)+…

其中 a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \dotsa0​,a1​,a2​,… 是决定每个正弦波对 s(t)s(t)s(t) 影响的幅度，而 1/T0,1/T1,1/T2,…1/T_0, 1/T_1, 1/T_2, \dots1/T0​,1/T1​,1/T2​,… 是它们各自的频率。如果 s(t)s(t)s(t) 没有频率为 1/Tk1/T_k1/Tk​ 的正弦波，那么相应的幅度 ak=0a_k = 0ak​=0。

对于许多形状有锐边的信号，如方波或三角波来说，很难相信这种说法。然而，这个概念仍然是真实的，并且构造此类信号的正弦波数量趋于无限。

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图 1.33：如同在令人惊叹的电影《星际穿越》（2014年）中描绘的第四维度。

• 虽然电影《星际穿越》相当好地捕捉到了第四维度（参见图 1.33），请看看你正在阅读这些内容的周围，并注意到你只能发现三个空间维度，即 xxx、yyy 和 zzz。空间中的任何一点都可以用这三个基成分的组合来表示。几乎所有实际的信号都可以通过复正弦波的线性组合来表示，因此它们被称为基信号。
• 另一个很好的类比是RGB模型，其中红色、绿色和蓝色通过各种方式组合在一起，形成各种不同的颜色。图 1.34 显示了黄色和灰色颜色的“光谱”内容，它们分别由红色、绿色和蓝色的贡献 [100% 100% 0%] 和 [50% 50% 50%] 组成。

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图 1.34：红色、绿色和蓝色在分别形成黄色和灰色颜色时的贡献

在信号的上下文中，考虑一个方波，它是一个周期性信号。图 1.35 中的曲线显示了它如何通过一个基本频率 F=1/TF = 1/TF=1/T 的整数倍来近似（为了简便，频域中的负轴没有显示）。图 1.35a 中的缓慢变化的曲线由前两项组成：

s(t)=sin⁡(2πFt)+13sin⁡(2π3Ft)=sin⁡(2π1Tt)+13sin⁡(2π3Tt)s(t) = \sin(2\pi Ft) + \frac{1}{3} \sin(2\pi 3Ft) = \sin\left(2\pi \frac{1}{T} t\right) + \frac{1}{3} \sin\left(2\pi \frac{3}{T} t\right)s(t)=sin(2πFt)+31​sin(2π3Ft)=sin(2πT1​t)+31​sin(2πT3​t)

这显然是相当不准确的。然而，我们可以通过增加这个近似来改进它。

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图 1.35：通过增加的正弦分量数来逼近方波，逼近变得更加准确。

再增加三项在图1.35b的方波上的曲线中的正弦分量为：

s(t)=sin⁡(2πFt)+13sin⁡(2π3Ft)+15sin⁡(2π5Ft)+…s(t) = \sin(2\pi Ft) + \frac{1}{3}\sin(2\pi 3Ft) + \frac{1}{5}\sin(2\pi 5Ft) + \ldotss(t)=sin(2πFt)+31​sin(2π3Ft)+51​sin(2π5Ft)+…

=sin⁡(2π1Tt)+13sin⁡(2π3Tt)+15sin⁡(2π5Tt)+…+17sin⁡(2π7Tt)+19sin⁡(2π9Tt)= \sin\left(2\pi \frac{1}{T} t\right) + \frac{1}{3}\sin\left(2\pi \frac{3}{T} t\right) + \frac{1}{5}\sin\left(2\pi \frac{5}{T} t\right) + \ldots + \frac{1}{7}\sin\left(2\pi \frac{7}{T} t\right) + \frac{1}{9}\sin\left(2\pi \frac{9}{T} t\right)=sin(2πT1​t)+31​sin(2πT3​t)+51​sin(2πT5​t)+…+71​sin(2πT7​t)+91​sin(2πT9​t)

图1.36展示了包含5个正弦分量的方波的近似，左边是时间域表示，右边是对应的频域表示。显然，这些波形加在一起生成的近似方波的意义在这里更清楚了。

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图 1.36：5个正弦分量加在一起生成时间域中的近似方波。与图1.35b比较。

如果你已经理解了这个概念，我想进一步加深理解。图1.36中有一个轻微的误导。实际相加的参与者是复正弦波，而不是图中绘制的实正弦波。在频谱的正侧，这些复正弦波以逆时针方向旋转。在频谱的负侧（未画出），这些波以顺时针方向旋转。而图中显示的实正弦波只是由于这一特例才导致的，甚至是时间域中的方波。

这种周期信号的表示法被称为傅里叶级数。对于非周期信号，周期 TTT 可以被认为是无限的，这些频率之间的间隔减小，得到一个连续的频域图，被称为傅里叶变换。

频谱与带宽

频谱，或简单称为频谱，就是所有可能的电磁辐射频率的范围。一个完整的连续频谱包括无线电波、微波、红外线、紫外线、X射线和伽马射线。在信号的背景下，其频谱包含了在时间域内相加生成该信号的复正弦波的频率。

在理想世界中，信号的带宽是存在于该信号中的复正弦波的频率范围。换句话说，考虑到所有的正弦波，带宽就是信号频谱中最高频率 FHF_HFH​ 与最低频率 FLF_LFL​ 之间的差值。

$$BW = F_H - F_L \tag{1.30}$$

一个理想的带限信号在有限的频率范围内具有频谱，超出该范围频谱为零 FL≤∣F∣≤FHF_L \leq |F| \leq F_HFL​≤∣F∣≤FH​：

$$S(F) = \begin{cases} 0, & 0 \leq |F| \leq F_L \\ x, & F_L \leq |F| \leq |F_H| \\ 0, & F_H \leq |F| \leq \infty \end{cases} \tag{1.31}$$

尽管如此，信号的某个频率可能对某个正弦波的贡献非常小，但并非完全为零。频率的概念是通过时间域中无限长的复正弦波定义的。由于复正弦波只在现实世界中存在有限时间，因此这些截断正弦波的频谱不再是一个脉冲。相反，它扩展到从负无穷到正无穷的整个频率范围内，时间受限信号的理想带宽也是如此。一般来说，变化快且不规则的信号具有宽带宽，因为需要大量正弦波来构造这些陡峭的曲线，而缓慢变化的信号则相对平滑，构建它们所需的正弦波较少。

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注释1.6 时间与频域支持

信号不能同时在时间和频域内受限。为了实际实现，信号必须在时间上受限，这使得其在频率上变得无限。因此，每个真实信号都占据无限量的带宽。带限信号指的是大部分能量集中在一定频率范围内的信号。带宽的实际定义因能量多少而异。

例如，美国联邦通信委员会（FCC）将带宽定义为信号功率的99%所在的频段。另一种常见的定义是，在指定频带之外，必须达到一定的衰减（例如，60 dB）。

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