【BZOJ3629】[JLOI2014]聪明的燕姿 数学+搜索

我遇见谁会有怎样的对白

我等的人他在多远的未来

我听见风来自地铁和人海

我排着队拿着爱的号码牌

——孙燕姿《遇见》

题意：给出一个数S，求约数和等于S的数。

作为一道数学题，首先需要了解一些数学定理：

算数基本定理：

任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P₁^a₁ P₂^a₂…Pn^an，这里P₁<P₂<…<Pn均为质数，其诸指数ai是正整数。

这样的分解称为N的标准分解式。

约数和定理：

对于任意一个大于1的正整数N可以分解正整数：N=P₁^a₁ P₂^a₂…Pn^an，则由约数个数定理可知N的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个，那么N的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个正约数的和为f(N)=(P₁^0+P₁^1+P₁^2+…P₁^a₁)(P₂^0+P₂^1+P₂^2+…P₂^a₂)…(Pn^0+Pn^1+Pn^2+…Pn^an)。

至此，搜索算法很显然地露出水面——穷举Pi及其对应的ai进行搜索。

①若当前数可表示成一个并未搜索过的质数与1的和，则之前搜索过的数与这个质数的乘积符合题意。

②对于每一个未被搜索过且平方小于当前数的质数，则枚举所有可能符合题意的ai进行递归搜索。

这样，此题便被完美解决。

【吐槽】当时JLOI时由于考场内由于台式机与投影仪的连接出现问题，评测机是一个临时借来的笔记本电脑——CPU慢得很恐怖，令我的卡时限的暴搜直接不解释地TLE……

顺便希望我所等待的那个人早日到来！！！

注：时至今日，我的代码仍然处于 BZOJ 榜首（100MS&108MS）且 Code_Length 1111 B！

后来发生了一个惨(xi)绝(da)人(pu)寰(ben)的事情，这份代码被同屋的大神在时间上超越了……于是******，终于重夺 Rank 1~~时间仅用80ms~~

[JLOI2014]聪明的燕姿 C++代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100000
int p[N+5],cnt,s,ans,num[N+5];
bool flag[N+5];
void getprime()
{
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!flag[i]) p[++cnt]=i;
		for(int j=1; i*p[j]<=N; j++)
		{
			flag[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
bool isprime(int x)
{
	if(x==1) return false;
	if(x<=N) return !flag[x];
	for(int i=1;p[i]*p[i]<=x;i++)
		if(x%p[i]==0) return false;
	return true;
}
void dfs(int last,int now,int tot)
{
	if(tot==1){ num[++ans]=now; return; }
	if(tot-1>p[last]&&isprime(tot-1))
		num[++ans]=now*(tot-1);
	for(int i=last+1; p[i]*p[i]<=tot; i++)
		for(int tnum=p[i]+1,t=p[i]; tnum<=tot; t*=p[i],tnum+=t)
			if(tot%tnum==0)
				dfs(i,now*t,tot/tnum);
}
int main()
{
	getprime();
	while(scanf("%d",&s)!=EOF)
	{
		ans=0;
		dfs(0,1,s);
		cout<<ans<<endl;
		sort(num+1,num+ans+1);
		for(int i=1; i<=ans; i++)
			printf("%d%c",num[i],i==ans?'\n':' ');
	}
}