bzoj3629[JLOI2014]聪明的燕姿搜索+筛法

最新推荐文章于 2019-10-14 14:29:34 发布

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本文介绍了一种通过枚举质数及其幂次来求解特定数值下正约数之和的方法。利用数论性质，文章提供了一个算法实现，能够高效地找出所有正约数之和等于给定数值的数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给出一个数n，求问有多少个数的正约数之和为n。
非常好（强）的题，一开始并没有想到。
注意到正约数之和，设n，那么n可以表示为:
$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}*...*a_n^{p_n}$
那么n的正约数之和 $m=(1+a_1^1+a_1^2+..a_1^{p_1})*(1+a_2^1+a_2^2+..a_2^{p_2})*...$
这个式子不难理解。
那么我们可以通过枚举ai和pi来求出m从而得到n，具体的话只要一个括号内的总和能被m整除那么ai,pi合法，然而这样需要算出2*10^9以内的质数。但是注意到p>=2，那么就只需要求出根号范围内的质数即可，注意处理m-1的特殊情况。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int p[N],vis[N],ans[N],cnt,s;
int n,m;
typedef long long ll;
inline void pre()
{
    int tot=0;
    fo(i,2,N)
    {
        if (!vis[i])p[++tot]=i;
        fo(j,1,tot)
        {
            if (i*p[j]>N)break;
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
inline bool ispri(int x)
{
    for(int i=1;p[i]*p[i]<=x;i++)
    if (x%p[i]==0)return 0;
    return 1;
}
inline void dfs(int last,ll num,int sum)
{
    if(num==1)
    {
        ans[++cnt]=sum;
        return;
    }
    if (num-1>s&&ispri(num-1))ans[++cnt]=(num-1)*sum;
    for(int i=last+1;p[i]<=s;i++)
    {
        ll tmp=1,t=p[i];
        for(int j=1;tmp+t<=num;j++)
        {
            tmp+=t;
            if (num%tmp==0)dfs(i,num/tmp,sum*t);
            t*=p[i];
        }
    }
}
int main()
{
    int cas;
    pre();
    while (scanf("%d",&n)==1)
    {
        cnt=0,s=sqrt(n);
        dfs(0,n,1);
        printf("%d\n",cnt);
        sort(ans+1,ans+1+cnt);
        fo(i,1,cnt-1)printf("%d ",ans[i]);
        if (cnt)printf("%d\n",ans[cnt]);
    }
}