洛谷 P1631 序列合并

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探讨了两个递增数列的组合问题，通过维护一个堆来高效找到所有组合中最小的N个和，避免了直接比较N^2个元素的复杂度。

题面

给出两个长度 N 的递增数列，1 <= N <= 100000，输出其相互组合的 N² 个和中最小的 N 个

分析

两个单调递增的数列，其和的组成也有一定单调性，先看选定一个a[i]固定的情况，此时形成N个和 $a [i] + b [0]$ ， $a [i] + b [1]$ ，… $a [i] + b [n - 1]$ ，也是递增的。

考虑有 n 个 a[i] ，这也就是说有 n 个这种递增的数列。而因为每个也是递增的，所以在轮到 a[i] + a[j] 之前，a[i]+b[j+1]是不会被调用的，这个性质使我们可以只维护 n 个 a[i] 的首元素。

考虑到空间不够 N²，可以只来用堆维护 n 个 $a [i] + b [j]$ ，其中 j 原本等于 0，被选中则 +1，并删去原来的。
每一个 b[ j ] 代表：当前 a[ i ] 下，可选的 b 中元素最小的那个，也是 n 个和列中动态的首元素。

代码

#include "cstdlib"
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string.h>
#include<string>
using namespace std;
int a[100005], b[100005];
struct P
{
	P(int i,int pos):i(i),pos(pos){}
	P() {}
	int i;//a[i]中的i
	int pos;
	bool operator < (const P &other)const
	{
		return a[i] + b[pos] > a[other.i] + b[other.pos];//小根堆生成
	}
};//每个i下的pos代表对于a[i]，与其下一个匹配的b[j]中的j(下标)
priority_queue<P>q;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];
	for (int i = 0; i < n; i++)cin >> b[i];
	for (int i = 0; i < n; i++)q.push(P(i, 0));//每个a[i]初始匹配b[0]
	P temp;
	for (int cnt = 0; cnt < n; cnt++)
	{
		temp = q.top();
		q.pop();
		if (temp.pos != n - 1)q.push(P(temp.i, temp.pos + 1));//如果已经到b[n-1]则a[i]没有下一个匹配
		cout << a[temp.i] + b[temp.pos]<<" ";
	}
	return 0;
}