Educational Codeforces Round 81 D-Same GCDs(欧拉函数)

题面

给定两个数a和m，在$[0,m)$内寻找有多少个x使$gcd(a,m)=gcd(a+x,m)$
1<=a<m<=10¹⁰

分析

询问了队友后得到了正确的建模思路。。。

可以先把问题简化，通过gcd(a,m)化简一波:$gcd(a/gcd(a,m),m/gcd(a,m))=1$
为表达简单，使$a=a/gcd(a,m),m=m/gcd(a,m)$

注意到此时问题变成了一个互质问题
在$[0,m)$内寻找有多少个x使$1=gcd(a+x,m)$
（x的范围可能缩小了，但是删去的部分肯定不是答案，因为那部分x包含原来的a和m的公因子，不能使$gcd(a+x,m)=1$）

联想到欧几里得算法，可以将后面的部分化到最简：当a+x大于等于m时，$gcd(a+x,m)=gcd((a+x)-m,m)$
分类：
a+x<m时,$gcd(a+x,m)$,其中$a+x\in [a,m)$
a+x>=m时,$gcd(a+x,m)=gcd(a+x-m,m)$，其中$a+x-m\in [0,a)$

由此，问题变成求$[0,m)$内与m互质数的个数，即欧拉函数φ(m)

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll gcd(ll a, ll b)
{
	if (b == 0)return a;
	return gcd(b, a % b);
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t;
	cin >> t;
	ll a, m,fai=1,g;
	for (int o = 0; o < t; o++)
	{
		cin >> a >> m;
		g = gcd(a, m);
		m /= g;
		//求m/gcd(a,m)的欧拉函数
		fai = m;
		for (ll i = 2; i*i <= m; i++)
		{
			if (m % i == 0) {
				fai = fai / i * (i - 1);
				while (m % i == 0)m /= i;
			}
		}
		if (m > 1)fai = fai / m * (m - 1);
		cout << fai << endl;
	}
	return 0;
}