21、深入理解AVL树：特性、操作与实现

深入理解AVL树：特性、操作与实现

1. AVL树简介

AVL树是一种特殊的二叉搜索树，它通过平衡因子的约束，确保树的高度始终保持在较低水平。对于至少有两个节点的AVL树，其高度小于1.5 lg n（n为树中节点的数量）。这一特性使得AVL树在插入、删除和搜索操作上具有较高的效率。

2. AVL树的插入操作

插入操作在AVL树中与普通二叉搜索树类似，从根节点开始，将插入的键值与节点值进行比较，沿着树向下遍历，直到到达合适的位置插入新的叶子节点。插入新节点后，可能会改变从新叶子节点到根节点路径上至少一个节点的平衡因子。
- 插入步骤 ：
1. 从根节点开始，比较插入键值与节点值，决定向左或向右遍历。
2. 到达合适位置插入新叶子节点。
3. 更新从新叶子节点到根节点路径上所有节点的平衡因子。
4. 检查是否有节点的平衡因子超出范围（即变为2或 -2），若有则进行树的重新平衡操作。
- 重新平衡操作 ：
当某个节点的平衡因子变为2或 -2时，需要通过四种旋转操作之一来重新平衡树。以下是平衡因子为2时的三种情况及对应的旋转操作：
| 情况 | 子树平衡因子情况 | 旋转操作 |
| ---- | ---- | ---- |
| 情况1 | 平衡因子为2的节点的左子树平衡因子为1 | R旋转 |
| 情况2 | 根节点的左子节点平衡因子为 -1，插入发生在左子节点的右子树的左子树 | LR旋转 |
| 情况3 | 根节点的左子节点平衡因子为 -1，插入发生在左子节点的右子树的右子树 | LR