8、幂运算中的水平相关分析技术解析

幂运算中的水平相关分析技术解析

1. 水平相关分析概述

在密码学的攻击与防御领域，水平相关分析是一种重要的技术手段。为了测试该技术，我们选择在 512 位乘法 LIM(x, y) 中进行实验。通过这种方式，能够获取 1024 个 16 位乘法的曲线段 (C_{i,j}^k)，基于垂直分析结果，这些曲线段足以支撑攻击的成功实施。

具体操作是，从获取的单条功率曲线入手，对信号进行处理，目的是检测出与每个 t 位乘法 (x_i × y_j) 对应的周期集合，进而将单条功率曲线划分为 1024 个曲线段 (C_{i,j}^k)。

随后，按照特定方法进行水平相关分析，针对 (D = a_i × m_j) 和 (D = m_j) 这两种情况展开研究，并成功恢复出执行的操作。在分析结果的展示图中，灰色痕迹的相关性大于黑色痕迹，这表明灰色痕迹对应的是对操作的正确猜测。

这种攻击方法具有显著优势，它能够有效区分不同的操作。例如，在算法 2.2 的步骤 3 中，能够准确识别出平方运算 (a × a) 和乘法运算 (a × m)。更为重要的是，即使幂运算采用原子实现进行保护，也可以利用单条功率轨迹恢复出幂运算中使用的秘密指数 (d)。

虽然该攻击是在软件实现上进行测试的，但已有研究证明，相关技术在硬件协处理器（乘数大小大于 16 位）上同样有效，能够定位长整数乘法中涉及的每个小乘法。因此，这种攻击对硬件协处理器也构成了潜在威胁。

2. 与 Big Mac 攻击的比较

将提出的幂运算水平 CPA 与 Big Mac 攻击进行对比，这两种技术都旨在对抗指数的随机化。

两者的差异主要体现在以下方面：