72、描述逻辑ALC的广义可满足性

描述逻辑ALC的广义可满足性

1. 引言

描述逻辑是知识表示领域的重要工具，其标准推理问题如可满足性和包含关系等一直是研究热点。对于基本描述逻辑ALC，概念可满足性问题在无限制公理时是PSPACE完全的，在存在无限制公理时则是EXPTIME完全的。

ALC的一些片段，如FL、EL和DL - Lite家族的逻辑，对布尔运算符和量词的使用进行了限制，使得它们的推理问题通常比ALC更容易，甚至有些是可处理的。例如，EL逻辑只允许合取和存在限制，其概念包含关系在无环和循环术语甚至一般公理下都是可处理的，且EL本体的可满足性是平凡的；而FL0逻辑只允许合取和全称限制，其包含关系在不同情况下复杂度不同，在一般公理下为EXPTIME完全。

本文旨在研究ALC中所有可能的布尔运算符和量词片段在一般公理下标准可满足性问题的复杂度。之前已有研究对无理论情况下的概念可满足性问题复杂度进行了分类，本文将在此基础上，对有理论情况下的概念可满足性问题进行分类，将这些问题分为EXPTIME完全、NP完全、P完全和NL完全，仅留下两个上下界不匹配的情况。

2. 预备知识

2.1 描述逻辑

使用ALC的标准语法和语义，将布尔运算符⊓、⊔、¬、⊤、⊥替换为对应任意布尔函数f : {0, 1}ⁿ → {0, 1}的任意运算符◦f 。设NC、NR和NI分别是原子概念、角色和个体的集合，概念描述的集合定义如下：
C := A | ◦f(C, …, C) | ∃R.C | ∀R.C
其中A ∈ NC，R ∈ NR，◦f 是布尔运算符。对于给定的布尔运算符集合B，B - 概念是仅使用B中运算符的概念。

一般概念包含（G